Тензорний аналіз

Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів $D(M)$, що диференціюється $M$. Розглядаються також оператори, що діють на загальніші, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні і т.д.

Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри $D(M)$.

1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля $X$ — лінійне відображення $\nabla _{X}$ простору векторних полів $D^{1}(M)$ від $M$, залежне від векторного поля $X$ і яке задовольняє умовам:

$\nabla _{f}X+{}_{gV}Z=f\nabla _{X}Z,$ $\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,$

де $X$, $Y$, $Z\in D'(M)$, $f$, $g$ — гладкі функції на $M$. Зв'язність $\Gamma$ і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри $D(M)$ в себе; при цьому відображення $\nabla X$ є диференціюванням, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.

В локальних координатах $u^{1},u^{2}\ldots ,u^{n}$ коваріантна похідна тензора з компонентами $T(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}})$ щодо вектора $X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}$ визначається так:

$\nabla _{X}T=\xi ^{s}({\frac {\partial T_{j_{1}\ldots m}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{s}}}+\Gamma _{k_{s}}^{i_{1}}T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}+\ldots -\Gamma _{j_{i,s}}^{k}T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}),$

$\Gamma _{ks}^{i}$ — об'єкт зв'язності $\Gamma$.

2) Похідна Лі уздовж векторного поля $X$ — відображення $L_{X}$ простору $D'(M)$, що визначене формулою $L_{X}~:~Y\rightarrow [X,~Y]$, де $[X,~Y]$ — комутатор векторних полів $X$ $Y$. Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання $D(M)$, зберігає тип тензорів і переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора $T(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}})$ виражається так:

$\nabla _{X}T=\xi ^{s}({\frac {\partial T_{j_{1}\ldots m}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{s}}}+\Gamma _{k_{s}}^{i_{1}}T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}+\ldots -\Gamma _{j_{i,s}}^{k}T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}),$

3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор $d$, що зіставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) степеня $p$ форму такого ж вигляду і степеня $p+1$, котра задовольняє умовам:

$d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},~~~~d(d\omega )=0,$

де $\wedge$ — символ зовнішнього добутку $r$ — ступінь $\omega _{1}$. В локальних координатах зовнішня похідна тензора $\omega \langle \omega _{i_{1}\ldots i_{p}}\rangle$ виражається так:

$d\omega =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{i_{1}\ldots {\hat {i}}_{k}\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_{k}}}}.$

Оператор $d$ — узагальнення оператора $\operatorname {rot}$.

4) Тензор кривизни симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора $g_{if}$ є дією деякого нелінійного оператора $R$:

$g_{if}\rightarrow R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s}}{\partial u^{l}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^{p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}),$

де

$\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k}}}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{s}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}).$

Література

• Акивис М.А. Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. — Москва: Наука, 1969 — С. 352.
• Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — Москва: Высшая школа, 1966 — С. 254.
• Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — Москва: ФМЛ, 1978 — С. 297.
• Автор Книжка. — Видавництво. — С. 123.
• Кочин Р.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — Москва: Наука, 1965 — С. 427.
• Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. — Москва: ФМЛ, 1963 — С. 411.
• Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Москва: Изд. МГУ, 1986 — С. 264.
• Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6.
• Lebedev, Leonid P.; Michael J. Cloud (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0.
• Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0070334847.
• Synge JL, Schild A (1978-07-01). Tensor Calculus. Dover Publications. ISBN 978-0486636122.