Супергравітація

Супергравітація (від супер- і лат. gravitas — тяжкість) — узагальнення загальної теорії відносності (ЗТВ) на основі суперсиметрії; або часто: багатовимірна супергравітація — назва фізичних теорій, що включають додаткові виміри, суперсиметрію і гравітацію.

Термін був введений фізиками, які бажали отримати перевагу від використання суперсиметрії при побудові теорії «Великого об'єднання», яка полягала в тому, що при цьому відбувається часткове скорочення найбільш інтенсивних квантових флуктуацій, пов'язане з парами частинок-суперпартнерів, яке допомагає пом'якшити протиріччя, що виникають при спробі включення в квантову механіку гравітації.

Зв'язок з іншими теоріями

Різні теорії супергравітації можна отримати за допомогою трьох різних підходів:

• супергравітація як узагальнення загальної теорії відносності,
• супергравітація як низькоенергетична межа теорій суперструн,
• супергравітація як узагальнення деяких альтернативних теорій гравітації з включенням суперсиметрії.

Класифікація теорій супергравітації в просторі-часі різних вимірів

Супергравітація — теорія гравітації з локальною суперсиметрією.

Алгебри Лі простору-часу

Алгебра Лі — Пуанкаре

$M_{\mu \nu }=i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }),$$P_{\mu }=-i\partial _{\mu }$— генератори алгебри Пуанкаре

$[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=-i(\eta ^{\mu \rho }M^{\nu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\mu \sigma }M{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma })$

$[P^{\mu },M^{\nu \rho }]=i(\eta ^{\mu \nu }P^{\sigma }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })$

$[P^{\mu },P^{\nu }]=0$

Де-сіттерівська і анти-де-сіттерівська просторово-часові алгебри

$[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=-i(\eta ^{\mu \rho }M^{\nu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\mu \sigma }M^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma })$

$[P^{\mu },M^{\nu \rho }]=i(\eta ^{\mu \nu }P^{\sigma }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })$

$[P^{\mu },P^{\nu }]=-iv^{2}\Delta M^{\mu \nu }$

$\Delta =1:$ анти-де-сіттерівська алгебра

$\Delta =-1:$ де-сіттерівська алгебра

$\Delta =0:$ Пуанкаре алгебра

Конформна алгебра

$[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=-i(\eta ^{\mu \rho }M^{\nu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\mu \sigma }M{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma })$

$[P^{\mu },M^{\nu \rho }]=i(\eta ^{\mu \nu }P^{\sigma }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })$

$[P^{\mu },P^{\nu }]=0$

$[M^{\mu \nu },D]=0$

$[D,P^{\mu }]=iP^{\mu }$

$[K^{\mu },K^{\nu }]=0$

$[D,K^{\mu }]=-iK^{\mu }$

$[M^{\mu \nu },K^{\rho }]=-i(\eta ^{\mu \rho }K^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }K^{\mu })$

$[P^{\mu },K^{\nu }]=-2i(\eta ^{\mu \nu }D+M^{\mu \nu })$

$[M^{\nu \rho },P^{\rho }]=i(\eta ^{\nu \rho }P^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }P^{\nu })$

$D$ — генератор масштабних трансляцій, $K^{\mu }$ — генератор конформних перетворень.

Спінори в довільних розмірностях

Для класифікації можливих теорій в просторі-часі довільної розмірності необхідно знати, спінори яких типів можуть бути визначені в кожному вимірі. Спінори в D вимірах — величини, перетворені в спінорному представленні групи Лоренца $SO(1,D-1)$. У більш загальному випадку розглядаються спінорні представлення групи $SO(t,s)$ з інваріантною метрикою.

$\eta _{\mu \nu }={\text{diag(}}\underbrace {-1,...,-1} _{t},\underbrace {+1,...,+1} _{s}),\qquad D=t+s$.

Література

• DZ Freedman, P. van Nieuwenhuizen, S. Ferrara, «Progress Toward A Theory Of Supergravity», Physical Review D13 (1976) pp 3214-3218.
• E. Cremmer, B. Julia, J. Scherk, «Supergravity theory in eleven dimensions», Physics Letters B76 (1978) pp 409—412.
• P. van Nieuwenhuizen, «Supergravity», Physics Reports 68 (1981) pp 189—398.
• Sergio Ferrara, (et al.): Searching for the superworld. World Scientific, Singapore 2007, ISBN 978-981-270-018-6
• Ioseph L. Buchbinder (et al.): Ideas and methods of supersymmetry and supergravity — or A walk through superspace. Inst. of Physics Publ., Bristol 1998 ISBN 0-7503-0506-1
• Stefano Bellucci: Attractors and black holes in supersymmetric gravity. Band 3 von Supersymmetric mechanics. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-79522-3
• Michael J. Duff: The world in eleven dimensions — supergravity, supermembranes and M-theory. Inst. of Physics Publ., Bristol 1999 року, ISBN 0-7503-0671-8
• Yoshiaki Tanii: Introduction to Supergravity. Springer, 2014 року, ISBN 978-4-431-54827-0