Суми Рамануджана

Суми Рамануджана — тригонометричні суми, залежні від двох цілочислових параметрів $k$ і $n$, виду:

$c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k}}\right)=\sum _{h}\exp \left({\frac {2\pi nhi}{k}}\right),$

де $h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0}$ и $(h,\;k)=1$.

Властивості

Основною властивістю сум Рамануджана є їх мультиплікативність щодо індексу $k$, тобто

$c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),\,$

якщо $(k,\;k')=1$.

Суми $c_{k}(n)$ можна записати через функцію Мебіуса $\mu$:

$c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d}}\right)d.$

Суми Рамануджана обмежені при обмежених або $k$, або $n$. Так, наприклад $c_{k}(1)=1$.

Тригонометричні формули

${\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}$

Застосування сум Рамануджана

Багато мультиплікативних функцій від натурального аргументу можуть бути розкладені в ряди по $c_{k}(n)$. Вірним є і обернене твердження.

Основні властивості сум дозволяють обчислювати суми вигляду:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s}}}f(n),\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}f(k),$

де $f(n)$ — мультиплікативна функція $q$ — ціле число $s$ — в загальному випадку, комплексне.

У простому випадку, можна одержати

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},$

де $\zeta (s)$ — дзета-функція Рімана $\sigma _{k}(n)$ — сума $k$-х степенів дільників числа $n$.

Такі суми тісно пов'язані з особливими рядами деяких адитивних проблем теорії чисел, наприклад, представлення натуральних чисел у вигляді парного числа квадратів.

Див. також

• Суми Клоостермана

Література

1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
5. Титчмарш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец : Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906..
6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.