Стійкий розподіл у теорії імовірностей - це такий розподіл, який може бути отриманий як границя за розподілом сум незалежних випадкових величин.
Визначення
ред.
Розподіл
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
X
{\displaystyle X}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
a
n
,
b
n
∈
R
{\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }
a
n
+
b
n
{\displaystyle a_{n}+b_{n}}
a
n
X
+
b
n
=
D
∑
i
=
1
n
Y
n
,
i
{\displaystyle a_{n}X+b_{n}=^{\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{n,i}}
де рівність розуміється в змісті рівності розподілів, а випадкові величини
Y
n
,
i
{\displaystyle Y_{n,i}}
X
{\displaystyle X}
Y
n
,
i
∼
P
X
,
i
=
,
…
,
n
{\displaystyle Y_{n,i}\sim \mathbb {P} ^{X},\;i=,\ldots ,n}
Зауваження
ред.
Якщо
F
X
{\displaystyle F_{X}}
∀
n
∈
N
,
∃
a
n
,
b
n
∈
R
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }
F
X
(
x
−
b
n
a
n
)
=
F
X
∗
⋯
∗
F
(
x
)
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=F_{X}*\cdots *F(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} }
де
∗
{\displaystyle *}
Якщо
ϕ
X
{\displaystyle \phi _{X}}
∀
n
∈
N
,
∃
a
n
,
b
n
∈
R
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }
ϕ
X
n
(
t
)
=
ϕ
X
(
a
n
t
)
e
i
b
n
t
{\displaystyle \phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t}}
Властивості стійких розподілів
ред.
Випадкова величина має стійкий розподіл тоді і тільки тоді , коли вона є межею по розподілі лінійних комбінацій сум незалежних однаково розподілених випадкових величин. Більш точно, випадкова величина
X
{\displaystyle X}
S
n
−
b
n
a
n
{\displaystyle {\frac {S_{n}-b_{n}}{a_{n}}}}
S
n
=
∑
i
=
1
n
Y
i
,
{
Y
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i},\;\{Y_{i}\}_{i=1}^{\infty }}
тоді і тільки тоді, коли розподіл
X
{\displaystyle X}
(Представлення Леви - Хинчина) Логарифм характеристичної функції випадкової величини зі стійким розподілом має вид:
ln
ϕ
(
t
)
=
{
i
t
β
−
d
|
t
|
α
(
1
+
i
θ
t
|
t
|
G
(
t
,
α
)
)
,
t
≠
0
0
,
t
=
0.
,
{\displaystyle \ln \phi (t)=\left\{{\begin{matrix}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}}G(t,\alpha )\right),&t\not =0\\0,&t=0.\end{matrix}}\right.,}
де
0
<
α
≤
2
,
β
∈
R
,
d
≥
0
,
|
θ
|
≤
1
,
{\displaystyle 0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,}
G
(
t
,
α
)
=
{
t
g
π
2
α
,
α
≠
1
2
π
ln
|
t
|
,
α
=
1
.
{\displaystyle G(t,\alpha )=\left\{{\begin{matrix}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1\\{\frac {2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1\end{matrix}}\right..}
Див. також
ред.
