Дана стаття містить перелік ортонормованих сферичних гармонік
ℓ
=
10
{\displaystyle \ell =10}
сферичній системі координат
r
,
φ
,
θ
{\displaystyle r,\varphi ,\theta }
декартових координатах
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
, та
r
{\displaystyle r}
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
θ
{\displaystyle \theta }
φ
{\displaystyle \varphi }
Візуальне представлення перших декількох дійсних сферичних гармонік. Голубий колір відповідає області, де функції додатні, а жовтий -- де від'ємні. Відстань від початку координат відповідає абсолютній величні гармоніки
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle (\theta ,\varphi )}
{
cos
(
θ
)
=
z
/
r
e
±
i
φ
⋅
sin
(
θ
)
=
(
x
±
i
y
)
/
r
{\displaystyle {\begin{cases}\cos(\theta )&=z/r\\e^{\pm i\varphi }\cdot \sin(\theta )&=(x\pm iy)/r\end{cases}}}
власні коливання тривимірного сферичного об'єму (кулі ).
Для
l
=
0
,
1
,
…
,
5
{\displaystyle l=0,1,\ldots ,5}
[1]
Y
0
0
(
θ
,
φ
)
=
1
2
1
π
{\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}
Y
1
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
2
3
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
=
1
2
3
2
π
⋅
(
x
−
i
y
)
r
Y
1
0
(
θ
,
φ
)
=
1
2
3
π
⋅
cos
θ
=
1
2
3
π
⋅
z
r
Y
1
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
2
3
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
=
−
1
2
3
2
π
⋅
(
x
+
i
y
)
r
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy) \over r}\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot \cos \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot {z \over r}\\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy) \over r}\end{aligned}}}
Y
2
−
2
(
θ
,
φ
)
=
1
4
15
2
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
=
1
4
15
2
π
⋅
(
x
−
i
y
)
2
r
2
Y
2
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
2
15
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
cos
θ
=
1
2
15
2
π
⋅
(
x
−
i
y
)
⋅
z
r
2
Y
2
0
(
θ
,
φ
)
=
1
4
5
π
⋅
(
3
cos
2
θ
−
1
)
=
1
4
5
π
⋅
(
3
z
2
−
r
2
)
r
2
Y
2
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
2
15
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
cos
θ
=
−
1
2
15
2
π
⋅
(
x
+
i
y
)
⋅
z
r
2
Y
2
2
(
θ
,
φ
)
=
1
4
15
2
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
=
1
4
15
2
π
⋅
(
x
+
i
y
)
2
r
2
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)^{2} \over r^{2}}&\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot (3\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot {(3z^{2}-r^{2}) \over r^{2}}&\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)^{2} \over r^{2}}&\\{}\end{aligned}}}
Y
3
−
3
(
θ
,
φ
)
=
1
8
35
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
=
1
8
35
π
⋅
(
x
−
i
y
)
3
r
3
Y
3
−
2
(
θ
,
φ
)
=
1
4
105
2
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
cos
θ
=
1
4
105
2
π
⋅
(
x
−
i
y
)
2
⋅
z
r
3
Y
3
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
8
21
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
5
cos
2
θ
−
1
)
=
1
8
21
π
⋅
(
x
−
i
y
)
⋅
(
5
z
2
−
r
2
)
r
3
Y
3
0
(
θ
,
φ
)
=
1
4
7
π
⋅
(
5
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
=
1
4
7
π
⋅
(
5
z
3
−
3
z
r
2
)
r
3
Y
3
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
8
21
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
5
cos
2
θ
−
1
)
=
−
1
8
21
π
⋅
(
x
+
i
y
)
⋅
(
5
z
2
−
r
2
)
r
3
Y
3
2
(
θ
,
φ
)
=
1
4
105
2
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
cos
θ
=
1
4
105
2
π
⋅
(
x
+
i
y
)
2
⋅
z
r
3
Y
3
3
(
θ
,
φ
)
=
−
1
8
35
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
=
−
1
8
35
π
⋅
(
x
+
i
y
)
3
r
3
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{3}^{-3}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot {(x-iy)^{3} \over r^{3}}&\\Y_{3}^{-2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot {(x-iy)\cdot (5z^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot (5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot {(5z^{3}-3zr^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{-1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot {(x+iy)\cdot (5z^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{3}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{-1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot {(x+iy)^{3} \over r^{3}}&\end{aligned}}}
Y
4
−
4
(
θ
,
φ
)
=
3
16
35
2
π
⋅
e
−
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
=
3
16
35
2
π
⋅
(
x
−
i
y
)
4
r
4
Y
4
−
3
(
θ
,
φ
)
=
3
8
35
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
cos
θ
=
3
8
35
π
⋅
(
x
−
i
y
)
3
z
r
4
Y
4
−
2
(
θ
,
φ
)
=
3
8
5
2
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
7
cos
2
θ
−
1
)
=
3
8
5
2
π
⋅
(
x
−
i
y
)
2
⋅
(
7
z
2
−
r
2
)
r
4
Y
4
−
1
(
θ
,
φ
)
=
3
8
5
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
7
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
=
3
8
5
π
⋅
(
x
−
i
y
)
⋅
(
7
z
3
−
3
z
r
2
)
r
4
Y
4
0
(
θ
,
φ
)
=
3
16
1
π
⋅
(
35
cos
4
θ
−
30
cos
2
θ
+
3
)
=
3
16
1
π
⋅
(
35
z
4
−
30
z
2
r
2
+
3
r
4
)
r
4
Y
4
1
(
θ
,
φ
)
=
−
3
8
5
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
7
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
=
−
3
8
5
π
⋅
(
x
+
i
y
)
⋅
(
7
z
3
−
3
z
r
2
)
r
4
Y
4
2
(
θ
,
φ
)
=
3
8
5
2
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
7
cos
2
θ
−
1
)
=
3
8
5
2
π
⋅
(
x
+
i
y
)
2
⋅
(
7
z
2
−
r
2
)
r
4
Y
4
3
(
θ
,
φ
)
=
−
3
8
35
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
cos
θ
=
−
3
8
35
π
⋅
(
x
+
i
y
)
3
z
r
4
Y
4
4
(
θ
,
φ
)
=
3
16
35
2
π
⋅
e
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
=
3
16
35
2
π
⋅
(
x
+
i
y
)
4
r
4
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{4}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{4}}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{2}\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{0}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {1 \over \pi }}\cdot (35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}\cdot {\frac {(35z^{4}-30z^{2}r^{2}+3r^{4})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )={\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{2}\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{3}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{4}}{r^{4}}}\end{aligned}}}
Y
5
−
5
(
θ
,
φ
)
=
3
32
77
π
⋅
e
−
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
Y
5
−
4
(
θ
,
φ
)
=
3
16
385
2
π
⋅
e
−
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
cos
θ
Y
5
−
3
(
θ
,
φ
)
=
1
32
385
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
9
cos
2
θ
−
1
)
Y
5
−
2
(
θ
,
φ
)
=
1
8
1155
2
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
3
cos
3
θ
−
cos
θ
)
Y
5
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
16
165
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
21
cos
4
θ
−
14
cos
2
θ
+
1
)
Y
5
0
(
θ
,
φ
)
=
1
16
11
π
⋅
(
63
cos
5
θ
−
70
cos
3
θ
+
15
cos
θ
)
Y
5
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
16
165
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
21
cos
4
θ
−
14
cos
2
θ
+
1
)
Y
5
2
(
θ
,
φ
)
=
1
8
1155
2
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
3
cos
3
θ
−
cos
θ
)
Y
5
3
(
θ
,
φ
)
=
−
1
32
385
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
9
cos
2
θ
−
1
)
Y
5
4
(
θ
,
φ
)
=
3
16
385
2
π
⋅
e
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
cos
θ
Y
5
5
(
θ
,
φ
)
=
−
3
32
77
π
⋅
e
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{5}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {77 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \\Y_{5}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{5}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {385 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{5}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {165 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{5}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {11 \over \pi }}\cdot (63\cos ^{5}\theta -70\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{5}^{1}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 16}{\sqrt {165 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{5}^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 32}{\sqrt {385 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{5}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{5}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 32}{\sqrt {77 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \end{aligned}}}
Y
6
−
6
(
θ
,
φ
)
=
1
64
3003
π
⋅
e
−
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
Y
6
−
5
(
θ
,
φ
)
=
3
32
1001
π
⋅
e
−
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
cos
θ
Y
6
−
4
(
θ
,
φ
)
=
3
32
91
2
π
⋅
e
−
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
11
cos
2
θ
−
1
)
Y
6
−
3
(
θ
,
φ
)
=
1
32
1365
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
11
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
6
−
2
(
θ
,
φ
)
=
1
64
1365
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
33
cos
4
θ
−
18
cos
2
θ
+
1
)
Y
6
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
16
273
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
33
cos
5
θ
−
30
cos
3
θ
+
5
cos
θ
)
Y
6
0
(
θ
,
φ
)
=
1
32
13
π
⋅
(
231
cos
6
θ
−
315
cos
4
θ
+
105
cos
2
θ
−
5
)
Y
6
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
16
273
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
33
cos
5
θ
−
30
cos
3
θ
+
5
cos
θ
)
Y
6
2
(
θ
,
φ
)
=
1
64
1365
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
33
cos
4
θ
−
18
cos
2
θ
+
1
)
Y
6
3
(
θ
,
φ
)
=
−
1
32
1365
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
11
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
6
4
(
θ
,
φ
)
=
3
32
91
2
π
⋅
e
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
11
cos
2
θ
−
1
)
Y
6
5
(
θ
,
φ
)
=
−
3
32
1001
π
⋅
e
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
cos
θ
Y
6
6
(
θ
,
φ
)
=
1
64
3003
π
⋅
e
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{6}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {3003 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \\Y_{6}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {91 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{6}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{6}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{6}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {13 \over \pi }}\cdot (231\cos ^{6}\theta -315\cos ^{4}\theta +105\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{6}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6}^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{6}^{3}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 32}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{6}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {91 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{6}^{5}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 32}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {3003 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \end{aligned}}}
Y
7
−
7
(
θ
,
φ
)
=
3
64
715
2
π
⋅
e
−
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
Y
7
−
6
(
θ
,
φ
)
=
3
64
5005
π
⋅
e
−
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
cos
θ
Y
7
−
5
(
θ
,
φ
)
=
3
64
385
2
π
⋅
e
−
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
13
cos
2
θ
−
1
)
Y
7
−
4
(
θ
,
φ
)
=
3
32
385
2
π
⋅
e
−
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
13
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
7
−
3
(
θ
,
φ
)
=
3
64
35
2
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
143
cos
4
θ
−
66
cos
2
θ
+
3
)
Y
7
−
2
(
θ
,
φ
)
=
3
64
35
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
143
cos
5
θ
−
110
cos
3
θ
+
15
cos
θ
)
Y
7
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
64
105
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
429
cos
6
θ
−
495
cos
4
θ
+
135
cos
2
θ
−
5
)
Y
7
0
(
θ
,
φ
)
=
1
32
15
π
⋅
(
429
cos
7
θ
−
693
cos
5
θ
+
315
cos
3
θ
−
35
cos
θ
)
Y
7
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
64
105
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
429
cos
6
θ
−
495
cos
4
θ
+
135
cos
2
θ
−
5
)
Y
7
2
(
θ
,
φ
)
=
3
64
35
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
143
cos
5
θ
−
110
cos
3
θ
+
15
cos
θ
)
Y
7
3
(
θ
,
φ
)
=
−
3
64
35
2
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
143
cos
4
θ
−
66
cos
2
θ
+
3
)
Y
7
4
(
θ
,
φ
)
=
3
32
385
2
π
⋅
e
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
13
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
7
5
(
θ
,
φ
)
=
−
3
64
385
2
π
⋅
e
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
13
cos
2
θ
−
1
)
Y
7
6
(
θ
,
φ
)
=
3
64
5005
π
⋅
e
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
cos
θ
Y
7
7
(
θ
,
φ
)
=
−
3
64
715
2
π
⋅
e
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{7}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {715 \over 2\pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \\Y_{7}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (13\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{7}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4}\theta -66\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{7}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{7}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {15 \over \pi }}\cdot (429\cos ^{7}\theta -693\cos ^{5}\theta +315\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{7}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{7}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{7}^{3}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4}\theta -66\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{5}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (13\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{7}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{7}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {715 \over 2\pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \end{aligned}}}
Y
8
−
8
(
θ
,
φ
)
=
3
256
12155
2
π
⋅
e
−
8
i
φ
⋅
sin
8
θ
Y
8
−
7
(
θ
,
φ
)
=
3
64
12155
2
π
⋅
e
−
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
⋅
cos
θ
Y
8
−
6
(
θ
,
φ
)
=
1
128
7293
π
⋅
e
−
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
(
15
cos
2
θ
−
1
)
Y
8
−
5
(
θ
,
φ
)
=
3
64
17017
2
π
⋅
e
−
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
5
cos
3
θ
−
cos
θ
)
Y
8
−
4
(
θ
,
φ
)
=
3
128
1309
2
π
⋅
e
−
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
65
cos
4
θ
−
26
cos
2
θ
+
1
)
Y
8
−
3
(
θ
,
φ
)
=
1
64
19635
2
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
39
cos
5
θ
−
26
cos
3
θ
+
3
cos
θ
)
Y
8
−
2
(
θ
,
φ
)
=
3
128
595
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
143
cos
6
θ
−
143
cos
4
θ
+
33
cos
2
θ
−
1
)
Y
8
−
1
(
θ
,
φ
)
=
3
64
17
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
715
cos
7
θ
−
1001
cos
5
θ
+
385
cos
3
θ
−
35
cos
θ
)
Y
8
0
(
θ
,
φ
)
=
1
256
17
π
⋅
(
6435
cos
8
θ
−
12012
cos
6
θ
+
6930
cos
4
θ
−
1260
cos
2
θ
+
35
)
Y
8
1
(
θ
,
φ
)
=
−
3
64
17
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
715
cos
7
θ
−
1001
cos
5
θ
+
385
cos
3
θ
−
35
cos
θ
)
Y
8
2
(
θ
,
φ
)
=
3
128
595
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
143
cos
6
θ
−
143
cos
4
θ
+
33
cos
2
θ
−
1
)
Y
8
3
(
θ
,
φ
)
=
−
1
64
19635
2
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
39
cos
5
θ
−
26
cos
3
θ
+
3
cos
θ
)
Y
8
4
(
θ
,
φ
)
=
3
128
1309
2
π
⋅
e
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
65
cos
4
θ
−
26
cos
2
θ
+
1
)
Y
8
5
(
θ
,
φ
)
=
−
3
64
17017
2
π
⋅
e
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
5
cos
3
θ
−
cos
θ
)
Y
8
6
(
θ
,
φ
)
=
1
128
7293
π
⋅
e
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
(
15
cos
2
θ
−
1
)
Y
8
7
(
θ
,
φ
)
=
−
3
64
12155
2
π
⋅
e
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
⋅
cos
θ
Y
8
8
(
θ
,
φ
)
=
3
256
12155
2
π
⋅
e
8
i
φ
⋅
sin
8
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{8}^{-8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \\Y_{8}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1309 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta -26\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_{8}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^{7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{8}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {17 \over \pi }}\cdot (6435\cos ^{8}\theta -12012\cos ^{6}\theta +6930\cos ^{4}\theta -1260\cos ^{2}\theta +35)\\Y_{8}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^{7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{8}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_{8}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1309 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta -26\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \end{aligned}}}
Y
9
−
9
(
θ
,
φ
)
=
1
512
230945
π
⋅
e
−
9
i
φ
⋅
sin
9
θ
Y
9
−
8
(
θ
,
φ
)
=
3
256
230945
2
π
⋅
e
−
8
i
φ
⋅
sin
8
θ
⋅
cos
θ
Y
9
−
7
(
θ
,
φ
)
=
3
512
13585
π
⋅
e
−
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
⋅
(
17
cos
2
θ
−
1
)
Y
9
−
6
(
θ
,
φ
)
=
1
128
40755
π
⋅
e
−
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
(
17
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
9
−
5
(
θ
,
φ
)
=
3
256
2717
π
⋅
e
−
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
85
cos
4
θ
−
30
cos
2
θ
+
1
)
Y
9
−
4
(
θ
,
φ
)
=
3
128
95095
2
π
⋅
e
−
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
17
cos
5
θ
−
10
cos
3
θ
+
cos
θ
)
Y
9
−
3
(
θ
,
φ
)
=
1
256
21945
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
221
cos
6
θ
−
195
cos
4
θ
+
39
cos
2
θ
−
1
)
Y
9
−
2
(
θ
,
φ
)
=
3
128
1045
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
221
cos
7
θ
−
273
cos
5
θ
+
91
cos
3
θ
−
7
cos
θ
)
Y
9
−
1
(
θ
,
φ
)
=
3
256
95
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
2431
cos
8
θ
−
4004
cos
6
θ
+
2002
cos
4
θ
−
308
cos
2
θ
+
7
)
Y
9
0
(
θ
,
φ
)
=
1
256
19
π
⋅
(
12155
cos
9
θ
−
25740
cos
7
θ
+
18018
cos
5
θ
−
4620
cos
3
θ
+
315
cos
θ
)
Y
9
1
(
θ
,
φ
)
=
−
3
256
95
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
2431
cos
8
θ
−
4004
cos
6
θ
+
2002
cos
4
θ
−
308
cos
2
θ
+
7
)
Y
9
2
(
θ
,
φ
)
=
3
128
1045
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
221
cos
7
θ
−
273
cos
5
θ
+
91
cos
3
θ
−
7
cos
θ
)
Y
9
3
(
θ
,
φ
)
=
−
1
256
21945
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
221
cos
6
θ
−
195
cos
4
θ
+
39
cos
2
θ
−
1
)
Y
9
4
(
θ
,
φ
)
=
3
128
95095
2
π
⋅
e
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
17
cos
5
θ
−
10
cos
3
θ
+
cos
θ
)
Y
9
5
(
θ
,
φ
)
=
−
3
256
2717
π
⋅
e
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
85
cos
4
θ
−
30
cos
2
θ
+
1
)
Y
9
6
(
θ
,
φ
)
=
1
128
40755
π
⋅
e
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
(
17
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
9
7
(
θ
,
φ
)
=
−
3
512
13585
π
⋅
e
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
⋅
(
17
cos
2
θ
−
1
)
Y
9
8
(
θ
,
φ
)
=
3
256
230945
2
π
⋅
e
8
i
φ
⋅
sin
8
θ
⋅
cos
θ
Y
9
9
(
θ
,
φ
)
=
−
1
512
230945
π
⋅
e
9
i
φ
⋅
sin
9
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{9}^{-9}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {230945 \over \pi }}\cdot e^{-9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \\Y_{9}^{-8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {2717 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{9}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^{7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004\cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {19 \over \pi }}\cdot (12155\cos ^{9}\theta -25740\cos ^{7}\theta +18018\cos ^{5}\theta -4620\cos ^{3}\theta +315\cos \theta )\\Y_{9}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004\cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^{7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {2717 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{9}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{9}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 512}{\sqrt {230945 \over \pi }}\cdot e^{9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \end{aligned}}}
Y
10
−
10
(
θ
,
φ
)
=
1
1024
969969
π
⋅
e
−
10
i
φ
⋅
sin
10
θ
Y
10
−
9
(
θ
,
φ
)
=
1
512
4849845
π
⋅
e
−
9
i
φ
⋅
sin
9
θ
⋅
cos
θ
Y
10
−
8
(
θ
,
φ
)
=
1
512
255255
2
π
⋅
e
−
8
i
φ
⋅
sin
8
θ
⋅
(
19
cos
2
θ
−
1
)
Y
10
−
7
(
θ
,
φ
)
=
3
512
85085
π
⋅
e
−
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
⋅
(
19
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
10
−
6
(
θ
,
φ
)
=
3
1024
5005
π
⋅
e
−
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
(
323
cos
4
θ
−
102
cos
2
θ
+
3
)
Y
10
−
5
(
θ
,
φ
)
=
3
256
1001
π
⋅
e
−
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
323
cos
5
θ
−
170
cos
3
θ
+
15
cos
θ
)
Y
10
−
4
(
θ
,
φ
)
=
3
256
5005
2
π
⋅
e
−
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
323
cos
6
θ
−
255
cos
4
θ
+
45
cos
2
θ
−
1
)
Y
10
−
3
(
θ
,
φ
)
=
3
256
5005
π
⋅
e
−
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
323
cos
7
θ
−
357
cos
5
θ
+
105
cos
3
θ
−
7
cos
θ
)
Y
10
−
2
(
θ
,
φ
)
=
3
512
385
2
π
⋅
e
−
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
4199
cos
8
θ
−
6188
cos
6
θ
+
2730
cos
4
θ
−
364
cos
2
θ
+
7
)
Y
10
−
1
(
θ
,
φ
)
=
1
256
1155
2
π
⋅
e
−
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
4199
cos
9
θ
−
7956
cos
7
θ
+
4914
cos
5
θ
−
1092
cos
3
θ
+
63
cos
θ
)
Y
10
0
(
θ
,
φ
)
=
1
512
21
π
⋅
(
46189
cos
10
θ
−
109395
cos
8
θ
+
90090
cos
6
θ
−
30030
cos
4
θ
+
3465
cos
2
θ
−
63
)
Y
10
1
(
θ
,
φ
)
=
−
1
256
1155
2
π
⋅
e
i
φ
⋅
sin
θ
⋅
(
4199
cos
9
θ
−
7956
cos
7
θ
+
4914
cos
5
θ
−
1092
cos
3
θ
+
63
cos
θ
)
Y
10
2
(
θ
,
φ
)
=
3
512
385
2
π
⋅
e
2
i
φ
⋅
sin
2
θ
⋅
(
4199
cos
8
θ
−
6188
cos
6
θ
+
2730
cos
4
θ
−
364
cos
2
θ
+
7
)
Y
10
3
(
θ
,
φ
)
=
−
3
256
5005
π
⋅
e
3
i
φ
⋅
sin
3
θ
⋅
(
323
cos
7
θ
−
357
cos
5
θ
+
105
cos
3
θ
−
7
cos
θ
)
Y
10
4
(
θ
,
φ
)
=
3
256
5005
2
π
⋅
e
4
i
φ
⋅
sin
4
θ
⋅
(
323
cos
6
θ
−
255
cos
4
θ
+
45
cos
2
θ
−
1
)
Y
10
5
(
θ
,
φ
)
=
−
3
256
1001
π
⋅
e
5
i
φ
⋅
sin
5
θ
⋅
(
323
cos
5
θ
−
170
cos
3
θ
+
15
cos
θ
)
Y
10
6
(
θ
,
φ
)
=
3
1024
5005
π
⋅
e
6
i
φ
⋅
sin
6
θ
⋅
(
323
cos
4
θ
−
102
cos
2
θ
+
3
)
Y
10
7
(
θ
,
φ
)
=
−
3
512
85085
π
⋅
e
7
i
φ
⋅
sin
7
θ
⋅
(
19
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
10
8
(
θ
,
φ
)
=
1
512
255255
2
π
⋅
e
8
i
φ
⋅
sin
8
θ
⋅
(
19
cos
2
θ
−
1
)
Y
10
9
(
θ
,
φ
)
=
−
1
512
4849845
π
⋅
e
9
i
φ
⋅
sin
9
θ
⋅
cos
θ
Y
10
10
(
θ
,
φ
)
=
1
1024
969969
π
⋅
e
10
i
φ
⋅
sin
10
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{10}^{-10}(\theta ,\varphi )&={1 \over 1024}{\sqrt {969969 \over \pi }}\cdot e^{-10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \\Y_{10}^{-9}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi }}\cdot e^{-9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{-8}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {255255 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 1024}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{10}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{10}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8}\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9}\theta -7956\cos ^{7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot (46189\cos ^{10}\theta -109395\cos ^{8}\theta +90090\cos ^{6}\theta -30030\cos ^{4}\theta +3465\cos ^{2}\theta -63)\\Y_{10}^{1}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9}\theta -7956\cos ^{7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8}\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{3}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{10}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 1024}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{10}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{8}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {255255 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{9}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi }}\cdot e^{9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{10}(\theta ,\varphi )&={1 \over 1024}{\sqrt {969969 \over \pi }}\cdot e^{10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \end{aligned}}}
Візуалізація комплекснозначних сферичних гармонік
ред.
2D карти полярних/азимутальних кутів
ред.
Нижче комплекснозначні сферичні гармоніки представлені на 2D графіках з азимутальним кутом,
φ
{\displaystyle \varphi }
θ
{\displaystyle \theta }
амплітуді сферичної гармоніки, а сам колір представляє собою фазу .
Набір зображень комплекснозначних сферичних гармонік, представлених у вигляді двовимірних карт по
θ
,
φ
{\displaystyle \theta ,\varphi }
На сфері
ред.
Нижче комплексні сферичні гармоніки представлені у вигляді двовимірної карти на сфері. Величина сферичної гармоніки при певних полярних і азимутальних кутах представлена насиченістю кольору в цій точці, а фаза представлена кольором у цій точці.
Набір зображень комплексних сферичних гармонік на сфері Графіки на сфері з амплітудою гармоніки як відстанню від центру сфери
ред.
Нижче на графіках амплітуді сферичної гармоніки під конкретним полярним і азимутальним кутами відповідає відстань від центру умовної сфери (радіус), а фазі гармоніки відповідає колір у цій точці.
Набір графіків комплексних сферичних гармонік, представлених на сфері із амплітудою, як радіусом точки Дійсні сферичні гармоніки
ред.
Для кожної дійсної сферичної гармоніки також наведено відповідний атомний орбітальний символ (s , p , d , f ).[2] [3]
Для ℓ = 0, …, 3 див. також[4] [5]
Y
00
=
s
=
Y
0
0
=
1
2
1
π
{\displaystyle Y_{00}=s=Y_{0}^{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}}
Y
1
,
−
1
=
p
y
=
i
1
2
(
Y
1
−
1
+
Y
1
1
)
=
3
4
π
⋅
y
r
Y
1
,
0
=
p
z
=
Y
1
0
=
3
4
π
⋅
z
r
Y
1
,
1
=
p
x
=
1
2
(
Y
1
−
1
−
Y
1
1
)
=
3
4
π
⋅
x
r
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1,-1}&=p_{y}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{1}^{-1}+Y_{1}^{1}\right)={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {y}{r}}\\Y_{1,0}&=p_{z}=Y_{1}^{0}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {z}{r}}\\Y_{1,1}&=p_{x}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{1}^{-1}-Y_{1}^{1}\right)={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {x}{r}}\end{aligned}}}
Y
2
,
−
2
=
d
x
y
=
i
1
2
(
Y
2
−
2
−
Y
2
2
)
=
1
2
15
π
⋅
x
y
r
2
Y
2
,
−
1
=
d
y
z
=
i
1
2
(
Y
2
−
1
+
Y
2
1
)
=
1
2
15
π
⋅
y
⋅
z
r
2
Y
2
,
0
=
d
z
2
=
Y
2
0
=
1
4
5
π
⋅
3
z
2
−
r
2
r
2
Y
2
,
1
=
d
x
z
=
1
2
(
Y
2
−
1
−
Y
2
1
)
=
1
2
15
π
⋅
x
⋅
z
r
2
Y
2
,
2
=
d
x
2
−
y
2
=
1
2
(
Y
2
−
2
+
Y
2
2
)
=
1
4
15
π
⋅
x
2
−
y
2
r
2
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2,-2}&=d_{xy}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-2}-Y_{2}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {xy}{r^{2}}}\\Y_{2,-1}&=d_{yz}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-1}+Y_{2}^{1}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {y\cdot z}{r^{2}}}\\Y_{2,0}&=d_{z^{2}}=Y_{2}^{0}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{2}}}\\Y_{2,1}&=d_{xz}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-1}-Y_{2}^{1}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot z}{r^{2}}}\\Y_{2,2}&=d_{x^{2}-y^{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-2}+Y_{2}^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {x^{2}-y^{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}}
Y
3
,
−
3
=
f
y
(
3
x
2
−
y
2
)
=
i
1
2
(
Y
3
−
3
+
Y
3
3
)
=
1
4
35
2
π
⋅
y
(
3
x
2
−
y
2
)
r
3
Y
3
,
−
2
=
f
x
y
z
=
i
1
2
(
Y
3
−
2
−
Y
3
2
)
=
1
2
105
π
⋅
x
y
⋅
z
r
3
Y
3
,
−
1
=
f
y
z
2
=
i
1
2
(
Y
3
−
1
+
Y
3
1
)
=
1
4
21
2
π
⋅
y
⋅
(
5
z
2
−
r
2
)
r
3
Y
3
,
0
=
f
z
3
=
Y
3
0
=
1
4
7
π
⋅
5
z
3
−
3
z
r
2
r
3
Y
3
,
1
=
f
x
z
2
=
1
2
(
Y
3
−
1
−
Y
3
1
)
=
1
4
21
2
π
⋅
x
⋅
(
5
z
2
−
r
2
)
r
3
Y
3
,
2
=
f
z
(
x
2
−
y
2
)
=
1
2
(
Y
3
−
2
+
Y
3
2
)
=
1
4
105
π
⋅
(
x
2
−
y
2
)
⋅
z
r
3
Y
3
,
3
=
f
x
(
x
2
−
3
y
2
)
=
1
2
(
Y
3
−
3
−
Y
3
3
)
=
1
4
35
2
π
⋅
x
(
x
2
−
3
y
2
)
r
3
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{3,-3}&=f_{y(3x^{2}-y^{2})}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-3}+Y_{3}^{3}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {y\left(3x^{2}-y^{2}\right)}{r^{3}}}\\Y_{3,-2}&=f_{xyz}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-2}-Y_{3}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {105}{\pi }}}\cdot {\frac {xy\cdot z}{r^{3}}}\\Y_{3,-1}&=f_{yz^{2}}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-1}+Y_{3}^{1}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {y\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}\\Y_{3,0}&=f_{z^{3}}=Y_{3}^{0}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {7}{\pi }}}\cdot {\frac {5z^{3}-3zr^{2}}{r^{3}}}\\Y_{3,1}&=f_{xz^{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-1}-Y_{3}^{1}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}\\Y_{3,2}&=f_{z(x^{2}-y^{2})}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-2}+Y_{3}^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {105}{\pi }}}\cdot {\frac {\left(x^{2}-y^{2}\right)\cdot z}{r^{3}}}\\Y_{3,3}&=f_{x(x^{2}-3y^{2})}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-3}-Y_{3}^{3}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\left(x^{2}-3y^{2}\right)}{r^{3}}}\end{aligned}}}
Y
4
,
−
4
=
i
1
2
(
Y
4
−
4
−
Y
4
4
)
=
3
4
35
π
⋅
x
y
(
x
2
−
y
2
)
r
4
Y
4
,
−
3
=
i
1
2
(
Y
4
−
3
+
Y
4
3
)
=
3
4
35
2
π
⋅
y
(
3
x
2
−
y
2
)
⋅
z
r
4
Y
4
,
−
2
=
i
1
2
(
Y
4
−
2
−
Y
4
2
)
=
3
4
5
π
⋅
x
y
⋅
(
7
z
2
−
r
2
)
r
4
Y
4
,
−
1
=
i
1
2
(
Y
4
−
1
+
Y
4
1
)
=
3
4
5
2
π
⋅
y
⋅
(
7
z
3
−
3
z
r
2
)
r
4
Y
4
,
0
=
Y
4
0
=
3
16
1
π
⋅
35
z
4
−
30
z
2
r
2
+
3
r
4
r
4
Y
4
,
1
=
1
2
(
Y
4
−
1
−
Y
4
1
)
=
3
4
5
2
π
⋅
x
⋅
(
7
z
3
−
3
z
r
2
)
r
4
Y
4
,
2
=
1
2
(
Y
4
−
2
+
Y
4
2
)
=
3
8
5
π
⋅
(
x
2
−
y
2
)
⋅
(
7
z
2
−
r
2
)
r
4
Y
4
,
3
=
1
2
(
Y
4
−
3
−
Y
4
3
)
=
3
4
35
2
π
⋅
x
(
x
2
−
3
y
2
)
⋅
z
r
4
Y
4
,
4
=
1
2
(
Y
4
−
4
+
Y
4
4
)
=
3
16
35
π
⋅
x
2
(
x
2
−
3
y
2
)
−
y
2
(
3
x
2
−
y
2
)
r
4
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{4,-4}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-4}-Y_{4}^{4}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{r^{4}}}\\Y_{4,-3}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-3}+Y_{4}^{3}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {y(3x^{2}-y^{2})\cdot z}{r^{4}}}\\Y_{4,-2}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-2}-Y_{4}^{2}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {xy\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,-1}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-1}+Y_{4}^{1}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {y\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,0}&=Y_{4}^{0}={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}\cdot {\frac {35z^{4}-30z^{2}r^{2}+3r^{4}}{r^{4}}}\\Y_{4,1}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-1}-Y_{4}^{1}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,2}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-2}+Y_{4}^{2}\right)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x^{2}-y^{2})\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,3}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-3}-Y_{4}^{3}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {x(x^{2}-3y^{2})\cdot z}{r^{4}}}\\Y_{4,4}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-4}+Y_{4}^{4}\right)={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {x^{2}\left(x^{2}-3y^{2}\right)-y^{2}\left(3x^{2}-y^{2}\right)}{r^{4}}}\\{}\end{aligned}}}
Візуалізація дійсних сферичних гармонік
ред.
2D карти полярних/азимутальних кутів
ред.
Нижче дійснозначні сферичні гармоніки представлені на 2D графіках з азимутальним кутом,
φ
{\displaystyle \varphi }
θ
{\displaystyle \theta }
Набір зображень дійсних сферичних гармонік, представлених у вигляді двовимірних карт від кутових змінних Графіки на сфері
ред.
Нижче дійсні сферичні гармоніки зображені на сфері. Амплітуді сферичної гармоніки при певних полярних і азимутальних кутах відповідає насиченість кольору в цій точці, а фаза — кольору у цій точці.
Набір графіків сферичних гармонік, зображений на двовимірній сфері Графіки на сфері з амплітудою як радіусом
ред.
Нижче дійсні сферичні гармоніки зображені на сфері, причому амплітуді сферичної гармоніки під конкретним полярним і азимутальним кутами відповідає відстань від центру умовної сфери, а фаза зображена кольором у цій точці.
Набір графіків дійсних сферичних гармонік, представлених на сфері з амплітудою як радіусом Графіки на сфері з амплітудою як висотою на поверхні сфери
ред.
Нижче дійсні сферичні гармоніки представлені на сфері, де амплітуді сферичної гармоніки (величині і знаку) під певним полярним і азимутальним кутом відповідає висота графіка в цій точці відносно поверхні сфери фіксованого радіуса (над або під поверхнею сфери в залежності від знаку амплітуди). Додатково амплітуді відповідає насиченість кольору в даній точці. Фаза зображена кольором.
Набір графіків дійсних сферичних гармонік, представлених на сфері з амплітудою, як висотою від поверхні сфери і насиченістю кольору Див. також
ред.
Посилання
ред.
Список літератури
ред.
Цитована література
ред.
Загальні довідники
ред.
