Глобальна розмірність

У абстрактній алгебрі, глобальною розмірністю і слабкою глобальною розмірністю кільця R називаються означення розмірності, що загалом відрізняються від його розмірності Круля і визначаються з проективних, ін'єктивних чи плоских резольвент модулів над R. Розмірність Круля (відповідно глобальна, слабка) кільця R певною мірою вказує наскільки кільце відрізняється від кілець Артіна (відповідно напівпростих кілець, кілець регулярних за фон Нейманом). Ці розмірності є рівними нулю якщо і тільки якщо R є кільцем Артіна (напівпростим кільцем, кільцем регулярним за фон Нейманом). Ці три розмірності збігаються, якщо R є регулярним, зокрема якщо його гомологічна розмірність є скінченною ^[1]

Резольвенти ред.

Нехай $M$ — модуль над кільцем R. Точна послідовність $\longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$ називається лівою резольвентою модуля $M$ . Якщо для кожного $i$ , модуль $E_{i}$ є проективним (відповідно, плоским, вільним), то ця резольвента називається проективною (відповідно плоскою, вільною). Якщо $E_{n}\neq 0$ і $E_{i}=0$ для всіх $i>n$ , ця резольвента називається резольвентою довжини $n$ . Якщо такого цілого числа $n$ немає, резольвента має нескінченну довжину.
Точна послідовність $\longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0$ називається правою резольвентою модуля $M$ . Якщо для всіх $i$ , модуль $E^{i}$ є ін'єктивним, ця резольвента називається ін'єктивною. Довжина ін'єктивної резольвенти визначається подібно до проективної.
Для всіх R-модулів $M$ існують вільні, а отже, проективні і плоскі резольвенти. Також для всіх R-модулів $M$ існують ін'єктивні резольвенти ^[2].

Розмірність модуля ред.

Позначимо ${\overline {\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$ і вважатимемо, що для всіх $n\in \mathbb {Z}$ , $-\infty <n<+\infty$ , $-\infty +n=-\infty$ і $+\infty +n=+\infty$ .

Нехай $M$ — лівий модуль над R. Його проективною (ін'єктивною, плоскою) розмірністю, що позначається $pd_{R}\left(M\right)$ (відповідно $id_{R}\left(M\right),fd_{R}\left(M\right)$ називається точна нижня грань в ${\overline {\mathbb {Z} }}$ довжин проективних (відповідно, ін'єктивних, плоских) резольвент для $M$ . Приймається також $pd_{R}\left(0\right)=id_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty$ .

Можна дати еквівалентні означення (зокрема за допомогою функтора Ext):

Лівий R-модуль $M$ має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого $Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0$ для деякого лівого R-модуля $N;$

Лівий R-модуль $M$ має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого $Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0$ для деякого циклічного лівого R-модуля $N;$

Лівий R-модуль $M$ має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого $Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0$ для деякого скінченнопородженого лівого R-модуля $N;$

$Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)$ є точним справа функтором від другого аргумента.

Якщо $m\geqslant n,$ послідовність модулів і гомоморфізмів

0\;\rightarrow \;X_{m}\;\rightarrow \;X_{m-1}\;\rightarrow \;\ldots \;\rightarrow \;X_{0}\;\rightarrow M\;\rightarrow \;0

є точною послідовністю і всі модулі

X_{i},\;0\leq i<m

є проективними, то і модуль

X_{n}

є проективним.

Для комутативних нетерових кілець проективна розмірність скінченномородженого модуля є локальною характеристикою, а саме виконується рівність:

pd_{R}\left(M\right)=\sup _{{\mathfrak {m}}\ \in \ \operatorname {mspec} (R)}pd_{R_{\mathfrak {m}}}\left(M_{\mathfrak {m}}\right),

де $\operatorname {mspec} (R)$ позначає множину максимальних ідеалів, а $R_{\mathfrak {m}},M_{\mathfrak {m}}$ — локалізацію кільця і модуля за ідеалом

За допомогою двоїстості такі ж означення можна дати і для ін'єктивної розмірності.

Розмірність кільця ред.

Глобальна розмірність ред.

Нехай $_{R}Mod$ позначає категорію лівих R-модулів. Тоді дві такі величини є рівними^[3] :

$\sup \left\{pd_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\}$
$\sup \left\{id_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\}$

Їх спільне значення називається глобальною лівою розмірністю кільця R і позначається як $lgd(R)$ . Ця величина є верхньою межею в ${\overline {\mathbb {Z} }}$ величин $n$ , для яких є два ліві R-модулі $M$ і $N$ для яких $Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0$ (див. статтю Функтор Ext)

Так само можна визначити глобальну праву розмірність кільця R, яка позначається $rgd(R)$ .

Справедливими також є рівності:

$lgd(R)=\sup _{I}\ pd_{R}R/I,$ де I є усіма лівими ідеалами кільця R.

$rgd(R)=\sup _{I}\ pd_{R}R/I,$ де I є усіма правими ідеалами кільця R.

Коли $lgd(R)$ = $rgd(R)$ (зокрема у випадку коли кільце R є комутативним), їхня спільна величина називається глобальною розмірністю кільця R і позначається $gd(R)$ ^[4].

Поняття глобальної розмірності поширюється на випадок будь-якої абелевої категорії ${\mathfrak {C}}$ так, що якщо ${\mathfrak {C=}}_{R}Mod$ (відповідно, ${\mathfrak {C=}}Mod_{R}$ ), ця розмірність $gd\left({\mathfrak {C}}\right)$ є рівною $lgd(R)$ (відповідно $rgd(R)$ ), визначеними вище ^[5]

Слабка розмірність ред.

Дві такі величини є рівними ^[6] :

$\sup \left\{fd_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\},$
$\sup \left\{fd_{R}\left(M\right):M\in Mod_{R}\right\}.$

Їх спільне значення називається слабкою глобальною розмірністю кільця R і позначається $wgld(R)$ . Ця величина є верхньою межею в ${\overline {\mathbb {Z} }}$ чисел $n$ , для яких існує правий R-модуль $M$ і лівий R-модуль $N$ , для яких $Tor_{n}^{R}\left(M,N\right)\neq 0$ (див. статтю Функтор Tor).

Властивості і приклади. ред.

Модуль $\mathbb {Q}$ раціональних чисел над кільцем $\mathbb {Z}$ цілих чисел має плоску розмірність 0 і проективну розмірність 1.

The module $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ над кільцем $\mathbb {Z}$ має слабку розмірність 1 і ін'єктивну розмірність 0.

Модуль $\mathbb {Z}$ над кільцем $\mathbb {Z}$ має слабку розмірність 0 і ін'єктивну розмірність 1.

Нехай $0\;\rightarrow \;M'\;\rightarrow \;M\;\rightarrow \;M''\;\rightarrow \;0$ є точною послідовністю лівих модулів над R і $d=pd_{R}\left(M\right),\;d'=pd_{R}\left(M'\right),\;d''=pd_{R}\left(M''\right).$ Тоді:

d'\leq \max(d,d''-1),\;d''\leq \max(d,d'+1),\;d\leq \max(d',d'').

Зокрема якщо

d<\max(d',d''),

d''=d'+1.

Для того щоб модуль $M$ був проективним (ін'єктивним, плоским) необхідно і достатньо, щоб $pd_{R}\left(M\right)\leq 0$ (відповідно $id_{R}\left(M\right)\leq 0,fd_{R}\left(M\right)\leq 0$ ).

Нехай $R\to S$ — гомоморфізм кілець. Тоді будь-який лівий S-модуль M можна розглядати як лівий R-модуль. При цьому:

pd_{R}\left(M\right)\leq pd_{S}\left(M\right)+pd_{R}\left(S\right);

fd_{R}\left(M\right)\leq fd_{S}\left(M\right)+fd_{R}\left({}_{R}S\right);

id_{R}\left(M\right)\leq id_{S}\left(M\right)+id_{R}\left(S_{R}\right).

Добуток нескінченної кількості полів має слабку розмірність 0 але ненульову глобальну розмірність.

$wgld\left(R\right)\leq lgd\left(R\right).$ Якщо R є лівим нетеровим кільцем, то виконується рівність.
Якщо R є нетеровим, то $wgld(R)=lgd(R)=rgd(R)=gd(R)$ .
Кільце матриць виду ${\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}$ має праву глобальну розмірність рівну 1, ліву глобальну розмірність рівну 2 і слабку розмірність рівну 1. Дане кільце є нетеровим справа але не зліва.
Нехай $A$ є комутативним кільцем; тоді $gd(A\left[X\right])=gd(A)+1$ (теорема Гілберта про сизигії)). Отже, якщо $K$ є полем (або, у більш загальному випадку, напівпростим комутативним кільцем), $gd(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n$ ^[7].
Нехай R — кільце головних ідеалів, що не є полем. Тоді $gd\left(R\right)=1.$
Нехай R — комутативне кільце, $S\subset R$ — мультиплікативна множина, яка не містить дільників нуля і $T$ — локалізація $S^{-1}R$ . Тоді $gd(T)\leq gd(R)$ і $wgld(T)\leq wgld(R)$ ^[8].
Область цілісності R є кільцем Прюфера, якщо і тільки якщо $wgld(R)\leq 1$ ^[9].

Регулярні кільця ред.

Кільце R називається лівим регулярним , якщо для кожного лівого скінченнопородженого R-модуля існує скінченна проективна резольвента. Подібним чином можна дати означення правого регулярного кільця. Кільце називається регулярним якщо воно є регулярним справа і зліва. ^[10] · ^[11] Для комутативних нетерових кілець це означення є еквівалентним стандартним.
Якщо $lgd(R)<+\infty$ , то R є очевидно лівим регулярним але Нагата дав у 1962 році приклад комутативного нетерового регулярного кільця з нескінченною глобальної розмірністю (і, відповідно, нескінченною розмірністю Круля) ^[12].
Якщо R є регулярним комутативним кільцем, то всі локалізації $T=S^{-1}R$ R є регулярними.
Якщо R є лівим регулярним нетеровим кільцем, то таким є і кільце $R\left[X_{1},...,X_{n}\right]$ (теорема Свана)^[13].

Примітки ред.

↑ McConnell та Robson, 2001, 7.1.9; Lam, 1999, (5.94), (5.95).
↑ Rotman, 2009, Prop. 6.2 і 6.4
↑ McConnell та Robson, 2001, 7.1.8.
↑ McConnell та Robson, 2001, 7.1.11
↑ Mitchell, 1965.
↑ McConnell та Robson, 2001, §7.1.
↑ Bourbaki, 2007, §8, Thm. 1.
↑ McConnell та Robson, 2001, §7.4
↑ Rotman, 2009, Example 8.20.
↑ McConnell та Robson, 2001, 7.7.1.
↑ Lam, 1999, с. 201
↑ Lam, 1999, (5.94) ; Nagata, 1962, Appendix.
↑ McConnell та Robson, 2001, 7.7.3, 7.7.5.

Див. також ред.

Література ред.

Bourbaki, N. (2007), Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique, Éléments de mathématique, Springer, с. 216, ISBN 3540344926
Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6.
McConnell, J. C.; Robson, J. C.; Small, Lance W. (2001), Revised (ред.), Noncommutative Noetherian Rings, Graduate Studies in Mathematics, т. 30, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2169-5.
Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13, New York-London: Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons, ISBN 0-88275-228-6, MR 0155856
Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Dimensions of ring theory, Mathematics and its Applications, т. 36, D. Reidel Publishing Co., doi:10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN 9789027724618, MR 0894033
Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, т. 85, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-599250-3, MR 0538169

[1] McConnell та Robson, 2001, 7.1.9; Lam, 1999, (5.94), (5.95).

[2] Rotman, 2009, Prop. 6.2 і 6.4

[robson-3] McConnell та Robson, 2001, 7.1.8.

[4] McConnell та Robson, 2001, 7.1.11

[5] Mitchell, 1965.

[6] McConnell та Robson, 2001, §7.1.

[7] Bourbaki, 2007, §8, Thm. 1.

[8] McConnell та Robson, 2001, §7.4

[9] Rotman, 2009, Example 8.20.

[10] McConnell та Robson, 2001, 7.7.1.

[11] Lam, 1999, с. 201

[12] Lam, 1999, (5.94) ; Nagata, 1962, Appendix.

[13] McConnell та Robson, 2001, 7.7.3, 7.7.5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]