Скалярна матриця — діагональна матриця , елементи головної діагоналі якої є рівними між собою. Прикладами скалярної матриці є одинична матриця і нульова матриця .
A
n
=
(
a
0
⋯
0
0
0
a
⋯
0
0
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0
⋯
a
0
0
0
⋯
0
a
)
{\displaystyle A_{n}={\begin{pmatrix}a&0&\cdots &0&0\\0&a&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &a&0\\0&0&\cdots &0&a\end{pmatrix}}}
Властивості
ред.
a
⋅
E
n
=
A
n
{\displaystyle a\cdot E_{n}=A_{n}}
Множина скалярних матриц
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
S
{\displaystyle S}
A
{\displaystyle A}
A
S
=
S
A
.
{\displaystyle AS=SA.}
det
A
n
=
a
n
{\displaystyle \operatorname {det} A_{n}=a^{n}}
rang
A
n
=
{
n
,
a
≠
0
0
,
a
=
0.
{\displaystyle \operatorname {rang} A_{n}={\begin{cases}n,&a\not =0\\0,&a=0.\end{cases}}}
A
n
−
1
=
1
a
E
n
{\displaystyle A_{n}^{-1}={\frac {1}{a}}E_{n}}
E
n
{\displaystyle E_{n}}
Скалярні матриці утворюють поле , ізоморфне полю, якому належать елементи матриці. Скалярною матрицею над полем Р називають матрицю, яка має на головній діагоналі один і той самий елемент
a
{\displaystyle a}
R
n
∗
{\displaystyle R_{n}^{*}}
Приклади
ред.
Нехай
Q
a
=
(
a
0
.
.
.
0
0
a
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
.
.
a
)
{\displaystyle Q_{a}={\begin{pmatrix}a&0&...&0\\0&a&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&a\end{pmatrix}}}
Q
b
=
(
b
0
.
.
.
0
0
b
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
.
.
b
)
{\displaystyle Q_{b}={\begin{pmatrix}b&0&...&0\\0&b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&b\end{pmatrix}}}
матриці з множини
R
n
∗
{\displaystyle R_{n}^{*}}
Q
a
+
Q
b
=
(
a
+
b
0
.
.
.
0
0
a
+
b
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
.
.
b
)
,
{\displaystyle Q_{a}+Q_{b}={\begin{pmatrix}a+b&0&...&0\\0&a+b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&b\end{pmatrix}},}
Q
a
−
Q
b
=
(
a
−
b
0
.
.
.
0
0
a
−
b
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
.
.
a
−
b
)
,
{\displaystyle Q_{a}-Q_{b}={\begin{pmatrix}a-b&0&...&0\\0&a-b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&a-b\end{pmatrix}},}
Q
a
Q
b
=
(
a
b
0
.
.
.
0
0
a
b
.
.
.
0
.
.
.
.
0
0
.
.
.
a
b
)
{\displaystyle Q_{a}Q_{b}={\begin{pmatrix}ab&0&...&0\\0&ab&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&ab\end{pmatrix}}}
також є скалярними матрицями і, відповідно, належать множині
R
n
∗
{\displaystyle R_{n}^{*}}
Див. також
ред.
