Сигма-скінченна міра

Сигма-скінченна міра в функціональному аналізі — міра, така що довільна вимірна множина може бути представлена у вигляді зліченного об'єднання вимірних множин скінченної міри.

Визначення

Неай $(X,{\mathcal {R}},\mu )$ - простір з мірою, де $X$ — деяка множина, ${\mathcal {R}}$ — задане на ній кільце підмножин, $\mu$ — міра визначена на кільці. Міра $\mu$ називається σ-скінченною, якщо для довільної множини $A\in {\mathcal {R}}$ існує зліченна сім'я вимірних множин $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$, така що $\mu (A_{i})<\infty ,\;i\in \mathbb {N}$ і

$A=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}$. Якщо міра визначена на деякій алгебрі ${\mathcal {F}}$ підмножин множини $X$, то необхідною і достатньою умовою σ-скінченності є виконання поданих вище умов для єдиної множини $X$

Приклади

• Будь-яка скінченна, зокрема ймовірнісна міра скінченна.

• Міра Лебега $m$ на $\mathbb {R}$ σ-скінченна, оскільки

$\mathbb {R} =\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }[-i,i],\;m([-i,i])=2i<\infty ,\;i=1,2,\ldots$.

• Зліченна міра $\mu$ на $\mathbb {R}$, тобто така, що $\mu (\{x\})=1,\;\forall x\in \mathbb {R}$ не є σ-скінченною, оскільки зліченне об'єднання будь-яких множин скінченної міри в цьому випадку буде зліченним, тоді як весь простір незліченний.

Властивості

σ-скінченні міри мають багато властивостей не характерних для інших видів мір, тому вони часто виступають припущеннями при формулюванні теорем теорії мри та інтегралу, зокрема теореми Радона-Нікодима, теореми Фубіні та ін. σ-скінченність також є достатньою умовою єдиності продовження міри заданої на кільці до міри на породженому цим кільцем σ-кільці (теорема Каратеодорі).

Література

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953