Середнє логарифмічне
У математиці, середнім логарифмічним називається функція двох невід'ємних чисел, що рівна частці їх різниці та логарифма їх частки. А саме
Середнє логарифмічне зокрема використовується для задач теплообміну і масообміну.
Зв'язок з іншими середніми значеннями ред.
- Середнє логарифмічне двох чисел є меншим, ніж середнє арифметичне, але більшим, ніж середнє геометричне (коли обидва числа є однаковими, то всі три середні є рівними цьому числу):
- Ці нерівності можна отримати, наприклад, як наслідок нерівності Ерміта — Адамара.
Інтерпретація в математичному аналізі ред.
Теорема Лагранжа ред.
середнє логарифмічне є значенням , якщо за функцію взяти :
і звідси
Інтегрування ред.
Середнє логарифмічне також можна інтерпретувати як площу під експоненційною кривою:
Звідси зокрема легко отримати властивість .
Узагальнення ред.
Через теорему Лагранжа ред.
Середнє логарифмічне можна узагальнити на змінні розглянувши узагальнену теорему Лагранжа для розділених різниць для логарифма -ї похідної. Тоді можна ввести
де — розділена різниця логарифму.
Для випадку трьох змінних:
- .
Через інтегральний вираз ред.
Узагальнення інтегралу, який дорівнює середньому логарифмічному дає інше узагальнення. Нехай — симплекс і для деякої міри у якій об'єм симплекса дорівнює 1, отримуємо
За допомогою розділених різниць можна записати
- .
Для випадку трьох змінних:
- .
Див. також ред.
Література ред.
- Niculescu, Constantin P.; Persson, Lars-Erik (2005). Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach. Springer-Verlag. ISBN 0-387-24300-3. Zbl 1100.26002.
- Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean [Архівовано 6 серпня 2021 у Wayback Machine.], Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92