Рівностепенева неперервність

Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.

Означення

Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність

Нехай

${\mathcal {F}}=\{f_{i}(x):X\rightarrow \mathbb {R} ,i\in I\},$

деяка сім'я неперервних функцій, де $X\subseteq \mathbb {R}$ — деяка підмножина дійсної осі, $I$ — множина індексів.

Множина функцій ${\mathcal {F}}$ — рівностепенево неперервна в точці $x_{0}\in X$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in X\quad |x-x_{0}|<\delta$

$\qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad |f_{i}(x)-f_{i}(x_{0})|<\varepsilon .$

Множина функцій ${\mathcal {F}}$ — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з $X$. Іншими словами, для довільного $\varepsilon >0$ знайдеться таке $\delta >0$, яке залежить від $\varepsilon$ та $x_{0}$, що для довільних $x\in X$ таких, що $|x-x_{0}|<\delta$ випливає, що нерівність $|f_{i}(x)-f_{i}(x_{0})|<\varepsilon$ виконується одночасно для всіх функцій з ${\mathcal {F}}$.

Множина функцій ${\mathcal {F}}$ — рівномірно рівностепенево неперервна, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x_{1},x_{2}\in X\quad |x_{1}-x_{2}|<\delta$

$\qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad |f_{i}(x_{1})-f_{i}(x_{2})|<\varepsilon .$

Іншими словами, для довільного $\varepsilon >0$ знайдеться таке $\delta >0$, яке залежить тільки від $\varepsilon$, що для довільних $x_{1},x_{2}\in X$ таких, що $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ випливає, що нерівність $|f_{i}(x_{1})-f_{i}(x_{2})|<\varepsilon$ виконується одночасно для всіх функцій з ${\mathcal {F}}$.

Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір $\delta$ залежить і від $x_{0}$, і від $\varepsilon$. У випадку рівномірної рівностепенової неперервності $\delta$ залежить тільки від $\varepsilon$. Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.

Метричний простір

Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів

Нехай $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$ — метричні простори і $C(X,\;Y)$ — множина всіх неперервних відображень з $X$ в $Y$.

Підмножина відображень $D\subset C(X,\;Y)$ — рівностепенево неперервна в точці $x_{0}\in X$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in X\quad d_{X}(x,x_{0})<\delta$

$\qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon .$

Множина $D$ — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з $X$.

Підмножина відображень $D\subset C(X,\;Y)$ називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x_{1},x_{2}\in X\quad d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$

$\qquad \forall f\in C(X,\;Y),\quad d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon .$

Більш загально, якщо $X$ — топологічний простір, то множина $F$ відображень з $X$ в $(Y,d_{Y})$ називається рівностепенево неперервною в точці $x_{0}\in X$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists U_{x_{0}}\quad \forall x\in U_{x_{0}}\quad \forall f\in F,\quad d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon ,$

де $U_{x_{0}}$ позначає деякий окіл точки $x_{0}$.

Властивості

• Якщо $X$ — компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна.
• Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
• Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
• Нехай $\{f_{n}(x)\},n\in \mathbb {N}$ — рівностепенево неперервна сім'я функцій і $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ поточково для довільного $x$, тоді $f(x)$ — неперервна .

• Нехай $\{f_{n}(x)\},n\in \mathbb {N}$ — рівностепенево неперервна сім'я функцій з $(X,d_{X})$ в повний метричний простір $(Y,d_{Y})$ і $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$ для всіх $x$ з деякої щільної в $X$ підмножини, тоді $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$ для всіх $x\in X$.

• Нехай $X$ — компактний простір і $\{f_{n}(x)\},n\in \mathbb {N}$ — рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$ поточково для довільного $x\in X$, тоді $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ рівномірно.

• Згідно узагальненої теореми Арцела якщо $X,Y$ — компактні простори, то підмножина $D\subset C(X,\;Y)$ компактна в $C(X,\;Y)$ як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою $\rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x)),\,\,f,g\in C(X,\;Y),$ тоді і тільки тоді, коли $D$ рівностепенево неперервна.

Приклади

• Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
• Нехай $F(x,y)$ — неперервна на $[a,b]\times [a,b]$ функція. Розглянемо відображення $G:C[a,b]\rightarrow C[a,b]$, яке задається формулою

$(G\cdot f)(x)=\int _{a}^{b}F(x,y)f(y)dy.$

Тоді множина $\{G\cdot f\mid \sup \nolimits _{y\in [a,b]}|f(y)|\leqslant 1\}$ рівностепенево неперервна .

Узагальнення

Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі $X$ вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку $X\times X$ наділена певними властивостями).

Див. також

• Неперервна функція
• Рівномірна неперервність
• Теорема Асколі — Арцела

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)

• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — Москва : Мир, 1977. — 355 с.