Ряд Шлемільха

Ряд Шлемільха — це розклад в ряд, подібний до розкладу в ряд Фур'є, двічі неперервно диференційованої функції на інтервалі $(0,\pi )$ по функціях Бесселя першого роду нульового індексу, який названо на честь німецького математика Оскара Шлемільха, який вивів його у 1857 році. А саме, дійсна функція $f(x)$ допускає розвинення в ряд вигляду

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}J_{0}(nx),$

у якому

${\begin{aligned}a_{0}&=f(0)+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}uf'(u\sin \theta )\ d\theta \ du,\\a_{n}&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}u\cos nu\ f'(u\sin \theta )\ d\theta \ du.\end{aligned}}$

Приклади

Нульова функція на інтервалі $(0,\pi )$ може бути представлена рядом Шлемільха,

$0={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{0}(nx)$.

Такий результат неможливо отримати за допомогою ряду Фур'є. Це цікаво з тої точки зору, що нульова функція представлена розвиненням у ряд, у якому не всі коефіцієнти дорівнюють нулю (у випадку довільного ряду Фур'є — всі коефіцієнти розкладу будуть нулями). Ряд збігається тільки тоді, коли $0<x<\pi$.

Це розвинення було узагальнене Нільсом Нільсеном

$0={\frac {1}{2\Gamma (\nu +1)}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{0}(nx)/(nx/2)^{\nu },$

де $-1/2<\nu \leq 1/2$ і $0<x<\pi$ або $\nu >1/2$ і $0<x\leq \pi$.

Ще деякі приклади рядів Шлемільха:

• $x={\frac {\pi ^{2}}{4}}-2\sum _{n=1,3,...}^{\infty }{\frac {J_{0}(nx)}{n^{2}}},\quad 0<x<\pi .$
• $x^{2}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}J_{0}(nx),\quad -\pi <x<\pi .$
• ${\frac {1}{x}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {2}{\sqrt {x^{2}-4m^{2}\pi ^{2}}}}={\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }J_{0}(nx),\quad 2k\pi <x<2(k+1)\pi .$
• Якщо $(r,z)$ — циліндричні полярні координати, то ряд $1+\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nz}J_{0}(nr)$ задовольняє рівняння Лапласа при $z>0$ .