Ротор (математика)

Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.

${\text{rot}}\;\mathbf {A} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{matrix}}\right|=\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.

Позначення

$\operatorname {rot}$ (використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або

$\operatorname {curl}$ (в англомовній),

а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:

$\mathbf {\nabla } \times .$

Приклад

Обертання навколо осі $z$ зі сталою кутовою швидкістю $w$ (траєкторії є колами з центром на $z-$осі): $\mathbf {v} =\langle -wy,wx,0\rangle .$

Тоді $\nabla \times \mathbf {v} =\dots =0\mathbf {\hat {i}} +0\mathbf {\hat {j}} +(w+w)\mathbf {\hat {k}} =2w\mathbf {\hat {k}} .$ Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Фізичне значення

Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.

Функцію $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )$ можна розглядати як вимір тенденції $\mathbf {F}$ створювати обертання. Інтерпретуючи $\mathbf {F}$ як силове поле або поле швидкостей, $\mathbf {F}$ примушуватиме об'єкт розташований у точці $P_{0}$ обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.$

Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом $a$ і центром у $(x_{0},y_{0}),$ і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б $\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,$ тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).

Оскільки $\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,$ не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню $\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,$ уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:

швидкість лопаті	$={\frac {1}{2\pi a}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ds={\frac {1}{2\pi a}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$
	$={\frac {1}{2\pi a}}\int \int _{R}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}dxdy,$ згідно з теоремою Гріна
	$\approx {\frac {1}{2\pi a}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}\pi a^{2},$

де $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}$ це значення функції у $(x_{0},y_{0}).$ Обґрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )$ по всьому регіону має значення приблизно $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0},$ отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:

${\frac {a}{2}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.$

Ми можемо позбутися $a$ використавши кутову швидкість:

$\omega _{0}\approx {\frac {1}{2}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.$

Джерела

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2007. — Т. 2 : Л — Р. — 670 с. — ISBN 57740-0828-2.