Розклад Шура
Розклад Шура — представлення квадратної матриці з комплексними коефіцієнтами у вигляді
де U — унітарна матриця, R — верхня трикутна матриця.
Властивості ред.
- Очевидно, що матриця подібна до матриці , отже в них всі власні значення збігаються, а оскільки — трикутна, то вони знаходяться в неї на головній діагоналі.
- Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриця в розкладі Шура буде діагональною. Отже для нормальних матриць спектральний розклад та розклад Шура збігаються.
- Якщо квадратні матриці є переставними, то їх можна привести до трикутного вигляду одною унітарною матрицею:
- ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць.
- Наслідком з попередньої властивості є одночасна діагоналізація переставних нормальних матриць (див. Переставні матриці).
Узагальнений розклад Шура ред.
Квадратні матриці можуть бути представлені у вигляді:
де
- — унітарні матриці,
- — верхні трикутні матриці.
Ще відомий під назвою QZ-розклад. Узагальнює сингулярний розклад матриці.
Дивись також ред.
Джерела ред.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)