Розв'язок подібності

Розв'язок певної задачі еволюції є розв'язком подібності або самоподібним розв'язком якщо його просторова конфігурація (графік) залишається подібним собі впродовж всієї еволюції. В одному вимірі, самоподібний розв'язок має таку загальну форму:

$u(x,t)=a(t)F(x/b(t))$

де, бажано, $u/a$ і $x/b$ — це безрозмі́рнісні величини.

Перетворення симетрії

Маючи функцію $u(x,t)$ незалежні і залежні змінні можна відобразити так $(x,t,u)\rightarrow (x',t',u')$ або точніше $x'=X(x,t,u),t'=T(x,t,u),u'=U(x,t,u)$ де $X,T,U$ це гладкі функції. Тоді кажуть, що диференціальне рівняння з частинними похідними має симетрію чи перетворення симетрії якщо $u'(x',t')=u(x,t,U(X(x,t,u),T(x,t,u))$ це розв'язок якщо $u(x,t)$ є розв'язком. Інакше кажучі перетворення симетрії відображають розв'язок рівняння на його інший розв'язок.

Симетрія розтягу і самоподібний розв'язок

Якщо ДРЧП має таке перетворення симетрії $(x,t)\rightarrow (x/L,t/L^{\beta }),$ тоді розв'язок ДРЧП у вигляді $u=f(\eta ),$ де змінна подібності $\eta =x/t^{1/\beta },$ називається самоподібним розв'язком. Приактичною перевагою ідеї самоподібних розв'язків є те, що функція, яку треба знайти, $f$ має лише одну незалежну змінну $\eta ,$ і зазвичай задовольняє звичайному диференціальному рівнянню. Однак, нема гарантій, що такий розв'язок існує.

Зауважимо, що самоподібний розв'язок інваріантний щодо перетворення симетрії:

$u(x/L,t/L^{\beta })=f\left({\frac {x/L}{(t/L^{\beta })^{1/\beta }}}\right)=f\left({\frac {x}{t^{1/\beta }}}\right)=u(x,t).$

Правильним є й зворотнє твердження: кожний розв'язок інваріантний щодо перетворення симетрії — мусить бути функцією однієї змінної $\eta .$ Це можна показати використовуючи ін'єктивну заміну змінних

$\eta ={\frac {x}{t^{1/\beta }}},\xi =xt.$

Припустимо, що ми маємо розв'язок $w(\eta ,\xi )$ інваріантний щодо перетворення симетрії. Перетворення має такий вигляд $(\eta ,\xi )\rightarrow (\eta ,\xi /L^{\beta +1}),$ тобто

$w(\eta ,\xi )=w(\eta ,\xi /L^{\beta +1}).$

Диференціюємо щодо $\xi$ і покладаємо $L=1.$ В результаті маємо:

$w(\eta ,\xi )_{\xi }=0,$

це означає, що $w$ залежить лише від $\eta .$

Приклад

$u_{t}=Du_{xx},-\infty <x<\infty .$

Можна перевірити, що $u(x/L,t/L^{\beta })$ також є розв'язком і $\beta =2.$ Отже, ми шукаємо самоподібний розв'язок у форму $u=f(\eta ),$ де $\eta =x/{\sqrt {t}}.$ Підставляння дає

$Df''(\eta )+{\frac {\eta }{2}}f'(\eta )=0.$

Використовуючи метод інтегрувального множника можемо отримати

$f'(\eta )=Ce^{-n^{2}/4D},$

і, отже,

$f(\eta )=C_{1}{\mbox{erf}}(\eta /4D)+C_{2},{\mbox{erf}}(x)\equiv {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-y^{2}}dy,$

де $C_{1},C_{2},C_{3}-$ це довільні сталі.