Підстановки Ейлера — підстановки, що зводять інтеграли виду
∫
R
(
x
,
a
x
2
+
b
x
+
c
)
d
x
{\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right){\rm {d}}x}
, де
R
(
x
,
a
x
2
+
b
x
+
c
)
{\displaystyle R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)}
— раціональна функція, до інтегралів від раціональних функцій. Запропоновані Л. Ейлером у 1768 році [1]
Приклади для першої підстановки
ред.
В інтегралі
∫
d
x
x
2
+
c
,
{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}},}
можна використовувати першу підстановку Ейлера:
x
2
+
c
=
−
x
+
t
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}
, тоді
x
=
t
2
−
c
2
t
,
d
x
=
t
2
+
c
2
t
2
d
t
,
x
2
+
c
=
t
2
+
c
2
t
.
{\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}},\quad {\rm {d}}x={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {x^{2}+c}}={\frac {t^{2}+c}{2t}}.}
Відповідно, отримуємо
∫
d
x
x
2
+
c
=
∫
t
2
+
c
2
t
2
t
2
+
c
2
t
d
t
=
∫
d
t
t
=
ln
|
t
|
+
C
=
ln
|
x
+
x
2
+
c
|
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\dfrac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\dfrac {t^{2}+c}{2t}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {{\rm {d}}t}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C.}
Для
c
=
±
1
{\displaystyle c=\pm 1}
отримуємо відповідно формули:
∫
d
x
x
2
+
1
=
arcsh
(
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\operatorname {arcsh} (x)+C,}
∫
d
x
x
2
−
1
=
arcch
(
x
)
+
C
,
x
>
1.
{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\operatorname {arcch} (x)+C,\quad x>1.}
Для інтегрування
∫
1
x
x
2
+
4
x
−
4
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}\,{\rm {d}}x}
використовуємо першу підстановку Ейлера
x
2
+
4
x
−
4
=
x
+
t
.
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}=x+t.}
Після піднесення обох частин до квадрату отримуємо
x
2
+
4
x
−
4
=
x
2
+
2
x
t
+
t
2
.
{\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}.}
та знаходимо
x
{\displaystyle x}
x
=
t
2
+
4
4
−
2
t
.
{\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}
Далі знаходимо співвідношення між
d
x
{\displaystyle {\rm {d}}x}
та
d
t
{\displaystyle {\rm {d}}t}
d
x
=
−
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
−
2
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle {\rm {d}}x={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}\,{\rm {d}}t.}
Таким чином,
∫
d
x
x
x
2
+
4
x
−
4
=
∫
−
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
−
2
t
)
2
(
t
2
+
4
4
−
2
t
)
(
−
t
2
+
4
t
+
4
4
−
2
t
)
d
t
=
2
∫
d
t
t
2
+
4
=
arctg
(
t
2
)
+
C
=
arctg
(
x
2
+
4
x
−
4
−
x
2
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=\int {\frac {\dfrac {-2t^{2}+8t+8}{\left(4-2t\right)^{2}}}{\left({\dfrac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\dfrac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}{\rm {d}}t=2\int {\frac {{\rm {d}}t}{t^{2}+4}}=\operatorname {arctg} \left({\frac {t}{2}}\right)+C=\operatorname {arctg} \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C.}
Приклад для другої підстановки
ред.
В інтегралі
∫
d
x
x
−
x
2
+
x
+
2
{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}}
можна застосувати другу підстановку Ейлера
−
x
2
+
x
+
2
=
x
t
+
2
.
{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}.}
Звідси знаходимо
x
{\displaystyle x}
та
d
x
{\displaystyle {\rm {d}}x}
x
=
1
−
2
2
t
t
2
+
1
,
d
x
=
2
2
t
2
−
2
t
−
2
2
(
t
2
+
1
)
2
.
{\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}.}
Відповідно, отримуємо
∫
d
x
x
−
x
2
+
x
+
2
=
∫
2
2
t
2
−
2
t
−
2
2
(
t
2
+
1
)
2
1
−
2
2
t
2
+
1
⋅
−
2
t
2
+
t
+
2
t
2
+
1
d
t
=
∫
−
2
−
2
2
t
+
1
d
t
=
1
2
∫
−
2
2
−
2
2
t
+
1
d
t
=
1
2
ln
|
2
2
t
−
1
|
+
C
=
2
2
ln
|
2
2
−
x
2
+
x
+
2
x
−
1
|
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\dfrac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}{{\dfrac {1-2{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}\cdot {\dfrac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+2}{t^{2}+1}}}}\,{\rm {d}}t\\&=\int {\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {\sqrt {-x^{2}+x+2}}{x}}-1\right|+C.\end{aligned}}}
Приклад для третьої підстановки
ред.
Для того, щоб проінтегрувати
∫
x
2
−
x
2
+
3
x
−
2
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x,}
можна використати третю підстановку Ейлера
−
x
2
+
3
x
−
2
=
−
(
x
−
2
)
(
x
−
1
)
=
(
x
−
2
)
t
,
{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t,}
Звідси знаходимо
x
{\displaystyle x}
та
d
x
{\displaystyle {\rm {d}}x}
:
x
=
−
2
t
2
−
1
−
t
2
−
1
,
d
x
=
2
t
−
t
2
−
1
2
d
t
,
−
x
2
+
3
x
−
2
=
t
−
t
2
−
1
.
{\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2t}{{-t^{2}-1}^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\frac {t}{-t^{2}-1}}.}
Підставимо всі дані у початковий інтеграл
∫
x
2
−
x
2
+
3
x
−
2
d
x
=
∫
(
−
2
t
2
−
1
−
t
2
−
1
)
2
⋅
2
t
(
−
t
2
−
1
2
)
t
−
t
2
−
1
d
t
=
∫
2
(
−
2
t
2
−
1
)
2
(
(
−
t
2
−
1
)
2
)
3
d
t
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x=\int {\frac {\left({\dfrac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}\cdot {\dfrac {2t}{\left({-t^{2}-1}^{2}\right)}}}{\dfrac {t}{-t^{2}-1}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {2\left(-2t^{2}-1\right)^{2}}{\left(\left(-t^{2}-1\right)^{2}\right)^{3}}}\,{\rm {d}}t.}
Як можна побачити, це інтеграл від раціональної функції, який можна проінтегрувати за допомогою метод невизначених коефіцієнтів .
Підстановки Ейлера можна узагальнити шляхом використання уявних чисел.
Наприклад, для інтегрування
∫
d
x
−
x
2
+
c
{\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}
можна скористатися підстановкою
x
2
+
c
=
±
i
x
+
t
.
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=\pm ix+t.}
Розширення на комплексні числа дозволяє використовувати всі підстановки Ейлера незалежно від коефіцієнтів
квадратного тричлена.
Підстановки Ейлера можна узагальнити на ширший клас функцій. Розглянемо інтеграли вигляду
∫
R
1
(
x
,
a
x
2
+
b
x
+
c
)
log
(
R
2
(
x
,
a
x
2
+
b
x
+
c
)
)
d
x
,
{\displaystyle \int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\log \left(R_{2}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,{\rm {d}}x,}
де
R
1
{\displaystyle R_{1}}
та
R
2
{\displaystyle R_{2}}
є раціональними функціями від
x
{\displaystyle x}
та
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}
. Цей інтеграл можна звести за допомогою підстановки
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
+
x
t
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}
до вигляду
∫
R
~
1
(
t
)
log
(
R
~
2
(
t
)
)
d
t
,
{\displaystyle \int {\widetilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\widetilde {R}}_{2}(t){\big )}\,{\rm {d}}t,}
де
R
~
1
{\displaystyle {\widetilde {R}}_{1}}
та
R
~
2
{\displaystyle {\widetilde {R}}_{2}}
тепер раціональні функції змінної
t
{\displaystyle t}
.
У принципі, метод розкладання на множники та метод невизначених коефіцієнтів можна використовувати для зведення цього інтегралу до інтегралів простішого вигляду, які можна інтегрувати аналітично за допомогою функції дилогарифм . [2]
За спогадами учня Ландау А.В.Ахіезера , той вкрай негативно ставився до використання даних підстановки:
«[...]він (Ландау) запропонував мені вирахувати [...] інтеграл від раціональної дробу. [...] я вирахував, не використовуючи стандартних підстановок Ейлера, і це мене врятувало, бо, як я зрозумів згодом, Ландау не терпів їх і вважав, що кожен раз потрібно використовувати який-небудь штучний прийом, що, власне, я і зробив»
↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus , Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
↑ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration . 1992: Jones and Bartlett. с. 145—146. ISBN 978-0867202939 .