Підгрупа кручення

Підгрупа кручення — підгрупа елементів скінченного порядку абелевої групи. Підгрупа кручення абелевої групи $A$ позначається $\operatorname {Tor} \,A$.

Підгрупою p-кручення $\operatorname {Tor} _{p}\,A$ називається множина всіх елементів порядок яких рівний деякому степеню простого числа p. Підгрупи кручення і p-кручення групи визначені однозначно. Якщо усі елементи групи мають скінченний порядок то група називається періодичною. Якщо єдиним елементом скінченного порядку є нульовий елемент то група називається групою без кручень.

Властивості і приклади

• Група кручення може бути розкладеною в суму підгруп p-кручення для простих чисел p:

$A_{T}=\bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;$

• Будь-яка скінченнопороджена абелева група може бути розкладена в пряму суму вигляду

$A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \operatorname {Tor} \,A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus \limits _{i}\operatorname {Tor} _{p_{i}}\,A$

де $p_{i}$ — прості числа.

• Факторгрупа $A/\operatorname {Tor} \,A$ є групою без кручень.
• Вимога комутативності групи є важливою, оскільки для неабелевих груп, множина елементів скінченного порядку може не бути групою. Наприклад у групі заданій наступним співвідношенням:

< x, y | x² = y² = 1 >

елементи x і y мають порядок 2, проте елементи xy і yx мають нескінченні порядки.

• Довільна скінченна абелева група є групою кручення. Зворотне твердження не є вірним.

Див. також

• Скрут (алгебра)

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)