Примітивний елемент скінченного поля

Примітивним елементом скінченного поля $GF(p^{m})$ називається кожен генератор мультиплікативної групи цього поля.

Властивості

• Якщо $\alpha$ — примітивний елемент поля $GF(p^{m})$, тоді будь-який інший примітивний елемент можна отримати як степінь $\alpha ^{k}$, де k — ціле число взаємно просте з $p^{m}-1$. Тому кількість різних примітивних елементів в полі $GF(p^{m})$ дорівнює значенню функції Ейлера $\varphi (p^{m}-1)$.
• Мінімальний многочлен примітивного елемента поля $GF(p^{m})$ називається примітивним многочленом над полем $GF(p)$.

Приклад

$2$ є примітивним елементом полів $GF(3)$ і $GF(5),$ але не $GF(7),$ бо в ньому він утворює циклічну підгрупу порядку $3$ — $\{2,4,1\};$ однак, $3$ це примітивний елемент для $GF(7).$