Постулат Бертрана

Постулат Бертрана — це теорема, яка стверджує, що для будь-якого цілого числа $n>3$, завжди існує щонайменше одне просте число $p$ таке, що

$n<p<2n-2.$

Слабше, але елегантніше формулювання таке: для кожного $n>1$ існує щонайменше одне просте число $p$ таке, що

$n<p<2n.$

Є інше формулювання для $n\geq 1$, де $p_{n}$ це $n$-те просте число

$p_{n+1}<2p_{n}.$

Це твердження у 1845 вперше припустив Жозеф Бертран (1822–1900). Сам Бертран перевірив своє твердження для всіх чисел у проміжку [2, 3 × 10⁶]. Його припущення повністю довів Пафнутій Чебишов (1821–1894) у 1852 і тому, постулат також називають теорема Бертрана-Чебишова або теорема Чебишова. Теорему Чебишова також можна сформулювати як зв'язок між $\pi (x)\,$, де $\pi (x)\,$ — це функція розподілу простих чисел (кількість простих чисел менших або рівних $x\,$):

$\pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1,\,$ для всіх $\,x\geq 2.\,$