Площа поверхні

Пло́ща пове́рхні — площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.

Обчислення

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією $\mathbf {r} (u,v)$, тоді площа $S$, поверхні $(u,v)\in \Omega$, обчислюється за формулою:

$S=\iint \limits _{\Omega }|r_{u}\times r_{v}|dudv$,

де $r_{u}={\frac {\partial r}{\partial u}}$ та $r_{v}={\frac {\partial r}{\partial v}}$ — дотичні вектори, $r_{u}\times r_{v}$ — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

$S=\iint \limits _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\,dudv$,

де $E,F,G$ — коефіцієнти першої квадратичної форми, $E=\left(r_{u},r_{u}\right),G=\left(r_{v},r_{v}\right),F=\left(r_{u},r_{v}\right)$.

Якщо поверхню $\Omega$ задано функцією $z=z(x,y)$ над деякою областю $(x,y)\in \Omega '$ (або $\Omega '$ є проєкцією поверхні $\Omega$ на площину $xOy$), тоді

$S=\iint \limits _{\Omega }d\Omega =\iint \limits _{\Omega '}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dxdy.$

Див. також

• Об'єм
• Парадокс маляра
• Площа
• Поверхневий інтеграл
• Поверхня обертання