Перетворення Дзядика
У цій статті відсутній вступний розділ, що має містити визначення предмета і стислий огляд найважливіших аспектів статті. |
Визначення ред.
Нижче дотримуємося нумерації формул § 3 розділу IV в [1], стор. 129-147, чи [2], стор. 154-170.
Нехай
— задача Коші (ЗК) для звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗЛДР), коефіціенти якого
тобто — неперервні функції, — довільні дійсні числа.
Перетворення Дзядика ставить у відповідність до задачі Коші звичайного лінійного диференціального рівняння (ЗК ЗЛДР) лінійне інтегральне рівняння
У [3] знайдено просту симетричну (distinct) форму для формул (24), (25) та (15) у [2, § IV.3]:
denoting the -th integral of the function
Theorem. ... is equivalent to the integral equation.
- Приклад
Підстановкою
отримуємо спрощене рівняння Бесселя
для якого за формулами (24) та (25) обчислюємо
звідки інтегральна форма спрощеного рівняння Бесселя має вигляд:
Використання ред.
Перетворення Дзядика ЗК ЗЛДР в інтегральне рівняння є першою частиною розробленого ним апроксимаційного методу рішення диференціальних рівнянь, або -методу. Цитати.
Начиная с 1969 г., В. К. Дзядык разработал и глубоко обосновал так называемый аппроксимационный метод решения дифференциальных уравнений. Этот метод даёт возможность эффективно строить при помощи ЭВМ (а иногда и без них) многочлены, а также кусочно-многочленные агрегаты хорошего приближения для функций, которые являются решениями следующих задач: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, задача Гурса, различные задачи для уравнений с запаздывающим аргументом, краевые задачи для обыкновенных уравнений и др.
Применение этого метода к линейным дифференциальным уравнениям с многочленными коэффициентами вида
, где и — многочлены, позволило создать и обосновать простые алгоритмы для эффективного построения алгебраических многочленов , осуществляющих на при в наиболее важных случаях такое приближение искомого решения уравнения , которое с точностью до множителя, не превышающего , совпадает с величиной наилучшего приближения функции многочленами степени .
Корнейчук Н. П., Никольский С. М., Шевчук И. А. УМН 34:4 (1979), на стор. 233.
За допомогою а-методу було знайдено та виправлено помилки у таблицях (напр., у таблицях Корн та Корн).
Цей метод дає асимптотично ( ) найкращу можливу точність наближення, тому працює навіть тоді, коли інші методи не працюють (тобто дають неприпустиму похибку або розбіжні).
Визнання ред.
Дзядик В. К., Коновалов В. М., Шевчук І. О. у 1991 році за цикл праць «Наближення диференційовних функцій та апроксимаційні методи розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь» стали лауреатами премії НАН України імені М. М. Крилова.[1]
Джерела ред.
- Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / Ин-т математики АН УССР. — К. : Наукова думка, 1988. — 304 с. (рос.)
- Dzyadyk V. K. Approximation Methods for Solutions of Differential and Integral Equations. — VSP, Utrecht-Tokyo, 1995. — 325 p. — ISBN 90-6764-194-4. (англ.)
- Dzyadyk Yu. V. Some approximation properties of the a- and AI- quadrature polynomials // Функціональні методи у теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці. Тези доповідей // Київський Національний університет, Київ, 2001, с. 22–23
Посилання ред.
- Корнейчук Н. П., Никольский С. М., Шевчук И. А. Владислав Кириллович Дзядык (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. — 1979. — 34. — № 4 (208). — C.231-237.
- Биленко В. И., Коновалов В. Н., Луковский И. А., Лучка А. Ю., Пухов Г. Е., Ронто Н. И. Аппроксимационные методы Дзядыка решения дифференциальных и интегральных уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 4. — С.454-465.
Література ред.
- Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б. Кусково-поліноміальні алгоритми аналізу процесів у неоднорідних середовищах. // Кібернетика і системний аналіз, 2018, Т. 54, № 4. - C. 135-141.
- Біленко В. І., Кирилаха Н. Г. Апроксимаційний метод аналізу інтегральних динамічних моделей з керованою пам'яттю Канторовича-Глушкова // Сучасна інформатика: проблеми, досягнення та перспективи розвитку / Тези доповідей Міжнародної наукової конференції, присвяченої 90-річчю від дня народження В. М. Глушкова. Україна, Київ, 12-13 вересня 2013 року // Київ: Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, 2013. / Стор. 130-132.
Примітки ред.
- ↑ А. М. Самойленко, В. В. Строк, В. І. Сукретний. Хроніка-2005 // Національна академія наук України. Інститут математики. / С. 112.