Паралелепіпед

Паралелепі́пед (від грец. παράλλος — паралельний і επιπεδον — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.

Властивості

• Всі 6 граней паралелепіпеда є паралелограмами.
• Протилежні грані рівні та паралельні.
• Діагоналі перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.

Типи паралелепіпедів

Прямокутний паралелепіпед і його виміри a, b, c

Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:

• Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи. У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами. Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими.
• Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник. У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами. Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
• Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами. Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Основні формули

Прямий паралелепіпед

1. Площа бічної поверхні:

   S_б = Р_о · h, де Р_о — периметр основи, h — висота.

2. Площа повної поверхні:

   S_п = S_б + 2S_о, де S_о — площа основи.

3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:

   V = S_о · h.

Прямокутний паралелепіпед

1. Площа бічної поверхні:

   S_б = 2c (a + b), де a, b — сторони основи, c — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.

2. Площа повної поверхні:

   S_п = 2(ab + bc + ac).

3. Об'єм:

   V = abc, де a, b, c — виміри прямокутного паралелепіпеда.

4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі d дорівнює сумі квадратів його вимірів:

   d² = a² + b² + c².

Куб

1. Площа повної поверхні:

   S_п = 6a², де a — сторона.

2. Об'єм:

   V = a³.

3. Діагональ:

   d = a√3.

Формули векторної алгебри

Паралелепіпед, який задається трьома векторами a, b і c.

Довжини векторних добутків a×b і b×c дорівнюють площам відповідних паралелограмів

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$, $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ і $\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})$ розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:

$V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|,$

або

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.$

Паралелотоп

Гарольд Коксетер назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності паралелотопом. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .

Конкретніше, паралелотоп в n-вимірному просторі називається n-вимірний паралелотоп, або просто n-паралелотоп (або n-паралелепіпед). Таким чином паралелограм це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.

Більш загально, паралелотоп, або паралелотоп Вороного, має паралельні і конгруентні протилежні фасети. Тож 2-паралелотоп - це паралелогон що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це паралелогранник.

Діагоналі n-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. Інверсія в цій точці залишає n-паралелотоп незміненим.

Ребра що виходять з однієї вершини k-паралелотопа утворюють k-репер $(v_{1},\ldots ,v_{k})$ векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.

n-об'єм n-паралелотопа в просторі $\mathbb {R} ^{m}$ де $m\geq n$ можна обчислити за допомогою визначника Грама. Як альтернатива, об'єм - це норма зовнішнього добутку векторів:

$$V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.$$

Якщо m = n, це дорівнює абсолютному значенню визначника n векторів.

Див. також

• Призма
• Прямокутний паралелепіпед
• Куб

Література

• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія. Підручник для 10—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — Київ : «Вежа», 2002. — ISBN 966-7091-31-7.
• Погорелов А. В. Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. — 9-е изд. — Москва : Просвещение, 2009. — 175 с. — ISBN 978-5-09-021850-4.(рос.)
• Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — 4-е изд. — Москва : «Мир и Образование», 2008. — 336 с. — ISBN 978-5-94666-476-9.(рос.)
• Киселёв А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. — Москва : Просвещение, 1980. — 287 с.(рос.)