Оператор імпульсу

Оператор імпульсу - квантовомеханічний оператор, відповідний імпульсу в класичній механіці, який визначається формулою

${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$,

де $\hbar$ - зведена стала Планка, $\nabla$ - оператор Гальмільтона, i - уявна одиниця.

Власні функції та власні значення

Власними функціями оператора імпульсу є функції

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$,

де $\mathbf {k}$ - дійсний вектор, який називають хвильовим вектором.

${\hat {\mathbf {p} }}\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\hbar \mathbf {k} \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$,

тому власні значення оператора імпульсу $\hbar \mathbf {k}$. Значення хвильового вектора також відіграє роль квантового числа, яким можна індексувати хвильові функції.

Комутаційні співвідношення

Для кожної з компонент оператора імпульсу справедливо:

${\hat {p}}_{x}(x\phi (x))=-i\hbar \phi (x)+x{\hat {p}}_{x}\phi (x)$,

де $\phi (x)\,$ - будь-яка функція.

Тому:

$[x,{\hat {p}}_{x}]=x{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}x=i\hbar$.

Це комутаційне співвідношення центральне для квантової механіки — з нього виводяться усі інші. Різні компоненти оператора імпульсу комутують між собою, а також із «не своїми» координатами, наприклад:

$[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0$,

$[x,{\hat {p}}_{y}]=x{\hat {p}}_{y}-{\hat {p}}_{y}x=0$.

Джерела

• Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К. : Знання, 2009. — 559 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.