Обчислювальна теорія груп
галузь науки на стику математики та інформатики, що вивчає групи за допомогою обчислювальних машин
Обчислювальна теорія груп — галузь науки на стику математики та інформатики[1], що вивчає групи за допомогою обчислювальних машин. Вона пов'язана з проєктуванням, аналізом алгоритмів і структур даних для обчислення різних характеристик (найчастіше скінченних) груп. Галузь цікава дослідженням важливих із різних точок зору груп, дані про які неможливо отримати обчисленнями вручну.
Напрями досліджень ред.
Основні напрямки досліджень пов'язані з алгоритмами для[1]:
- скінченно заданих груп[2],
- поліциклічних і скінченних розв'язних груп,
- груп перестановок[3],
- матричних груп,
- теорії представлень.
Важливі алгоритми ред.
До важливих алгоритмів обчислювальної теорії груп належать:
- алгоритм Шраєра — Сімса[ru] для знаходження порядку групи перестановок,
- алгоритм Тодда — Коксетера[en] та алгоритм Кнута — Бендикса для перерахування класів суміжності,
- алгоритм перемноження—заміни для знаходження випадкового елемента групи.
Реалізації алгоритмів обчислювальної теорії груп доступні, зокрема, у двох відомих системах комп'ютерної алгебри, GAP та MAGMA.
Досягнення ред.
Деякі досягнення, безпосередньо пов'язані з обчислювальною теорією груп:
- повне перерахування всіх скінченних груп порядку менше 2000[ru],
- обчислення представлень усіх спорадичних груп[ru].
Примітки ред.
Література ред.
- Derek F. Holt, Bettina Eick, Bettina, Eamonn A. O'Brien, Handbook of computational group theory, Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL, 2005. ISBN 1-58488-372-3
- Charles C. Sims, «Computation with Finitely-presented Groups», Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 48, Cambridge University Press, Cambridge, 1994. ISBN 0-521-43213-8
- Ákos Seress, Permutation group algorithms, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 152, Cambridge University Press, Cambridge, 2003. ISBN 0-521-66103-ХСловник_термінів_теорії_груп#К.
- Огляд (англійською) цієї галузі від Акоша Шереша (Ákos Seress) з Університету штату Огайо, що є розширеною версією статті в журналі «Нотатки Американського математичного товариства». Є також огляд (англійською) від Чарльза Сімса[ru] з Ратґерського університету і старіший (англійською) — від Йоахима Нойбюзера (Joachim Neubüser) з Рейнсько-Вестфальського технічного університету Аахена.