Оболонкова модель ядра

Оболо́нкова моде́ль ядра́ — модель ядра атома, в якій нуклони: протони і нейтрони розглядаються як квантові частинки, що рухаються в самоузгодженому центральному потенціалі й мають дискретний енергетичний спектр, подібний до спектру електронів у атомі. Використовуючи принцип Паулі, модель пояснює існування так званих магічних ядер.

Перша оболонкова модель була запропонована Дмитром Іваненком (разом з Є. Гапоном) у 1932 році^{[джерело?]}. Потім, була незалежно розроблена Марією Гепперт-Маєр та Гансом Єнсеном у 1949, за що вони отримали Нобелівську премію за 1963.

У рамках моделі нуклони рухаються в центральному потенціалі ядра. Вважається, що вони не взаємодіють між собою. Для правильного опису руху потрібно врахувати спін-орбітальну взаємодію. Як потенціал вибирається потенціал тривимірного гармонічного осцилятора або потенціал Вудса-Саксона.

Математична модель

Ядро із масовим числом A і зарядовим числом Z загалом описується гамільтоніаном

${\hat {H}}=\sum _{k=1}^{A}-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta _{k}+\sum _{k<j}V_{kj}(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})$,

де M — маса нуклона, $\hbar$ — зведена стала Планка, $\Delta _{k}$ — оператор Лапласа для координат k-го нуклона, $V_{kj}$ — потенціал сильної взаємодії між нуколонами, загалом невідомий.

Оскільки задача знаходження енергетичного спектру гамільтоніана з A частинками, де A може буде доволі великим, нереальна, в оболонковій моделі цей гамільтоніан заміняється наближеним, в якому на кожен нуклон діє центральний потенціал:

${\hat {H}}_{0}=\sum _{k=1}^{A}-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta _{k}+V(\mathbf {r} _{k})$.

Якщо використати як центральний потенціал V(r) — гармонічний потенціал:

$V(r)={\frac {M\omega ^{2}}{2}}r^{2}$,

де $\omega$ — параметр із розмірністю частоти, то кожен нуклон буде описуватися тривимірним гармонічним осцилятором. Спектр одночастинкових збуджень однаковий для всіх нуклонів, однако розраховані рівні повинні заповнюватися з врахуванням принципа Паулі, окремо для протонів та нейтронів. Враховуючи виродженість станів тривимірного гармонічного осцилятора, а також два можливі спінові стани для кожного з нуклонів, число нуклонів на кожній оболонці буде:

2, 6, 12, 20, 30, 42

що дає магічні числа

2, 8, 20, 40, 70, 112.

Тільки три перші з них правильні, тобто збігаються із експериментальними.

Для покращення моделі потрібно врахувати спін-орбітальну взаємодію, яка для нуклонів у ядрі набагато більша від спін-орбітальної взаємодії електронів в атомі. При врахуванні спін-орбітальної взаємодії гамільтоніан записується у вигляді

${\hat {H}}_{0}=\sum _{k=1}^{A}-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta _{k}+V(\mathbf {r} _{k})+f_{ls}(r_{k})({\hat {\mathbf {l} }}_{k}\cdot {\hat {\mathbf {s} }}_{k})$,

де ${\hat {\mathbf {l} }}_{k}$ — оператор орбітального моменту нуклона, а ${\hat {\mathbf {s} }}_{k}$ — оператор спіна нуклона.

Спін-орбітальна взаємодія приводить до того, що нуклон притягується до ядра сильніше, коли його спін і орбітальний момент паралельні, і слабше, коли вони антипаралельні. Виродження за орбітальним моментом знімається і рівні нуклонів розщеплюються. Це розщеплення може бути значним і призвести до перегрупування рівнів.

Однонуклонний стан характеризується чотирма квантовими числами: головним квантовим числом n, орбітальним квантовим числом l, квантовим числом повного моменту j та магнітним квантовим числом повного моменту $m_{j}$. В поданій нижче таблиці стани згруповані за енергетичним квантовим числом $N=2(n-1)+l$. Кількість станів у кожній групі дається числом $2g_{N}+2$. Наведено також число нейтронів, які можуть бути в кожній групі — ${\bar {N}}_{n}(N)$. Для протонів потрібно враховувати додаткову кулонівську взаємодію, тому числа дещо інші.

N	0	1	2	3	4	5	6
l	0	1	2;0	3;1	4;2;0	5;3;1	6;4;2;0
j	${\frac {1}{2}}$	${\frac {3}{2}}$, ${\frac {1}{2}}$	${\frac {5}{2}}$, ${\frac {3}{2}}$, ${\frac {1}{2}}$	${\frac {7}{2}}$, ${\frac {5}{2}}$, ${\frac {3}{2}}$, ${\frac {1}{2}}$	${\frac {9}{2}}$, ${\frac {7}{2}}$, ${\frac {5}{2}}$, ${\frac {3}{2}}$, ${\frac {1}{2}}$	${\frac {11}{2}}$, ${\frac {9}{2}}$, ${\frac {7}{2}}$, ${\frac {5}{2}}$, ${\frac {3}{2}}$, ${\frac {1}{2}}$	${\frac {13}{2}}$, ${\frac {11}{2}}$, ${\frac {9}{2}}$, ${\frac {7}{2}}$, ${\frac {5}{2}}$, ${\frac {3}{2}}$, ${\frac {1}{2}}$
$2g_{N}+2$	6	8	14	22	32	44	58
${\bar {N}}_{n}(N)$	6	14	28	50	82	126	184

Підсумовуючи приведені в таблиці результати, ряд магічних чисел набирає вигляду

2, 8, (14), 20, 28, 40, 50, 82, (114)_p, 126, (186)_n.

У дужках вказані «напівмагічні» числа, для яких магічні властивості, тобто особлива стабільність, виражені слабо. Індексами позначені магічні числа тільки щодо числа протонів або нейтронів. Загалом, теорія узгоджується з експериментом.

Подальший розвиток

У міру подальшого нагромадження експериментальних даних про властивості атомних ядер з'являлися нові факти, які не завжди вкладалися в рамки описаних моделей. Так виникли узагальнена модель ядра (синтез краплинної й оболонкової моделей), оптична модель ядра (пояснює взаємодію ядер із частинками, що налітають) та інші.

Джерела

• Булавін Л. А., Тартаковський В. К. Ядерна фізика. — Знання. — Київ : ВТД «Університетська книга», 2005. — 439 с. — ISBN 966-346-020-2.
• Гепперт-Майер М., Йенсен И., Элементарная теория ядерных оболочек, Иностранная литература, М., 1958.

Див. також

• Ядро атома
• Модель Фермі-газу