Нецентрований хі розподіл

У теорії ймовірностей та статистиці нецентрований розподіл хі є нецентральним узагальненням розподілу хі.

Нецентрований хі
Параметри	$k>0\,$ ступені свободи $\lambda >0\,$
Носій функції	$x\in [0;+\infty )\,$
Розподіл імовірностей	${\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-Q_{\frac {k}{2}}\left(\lambda ,x\right)$, де Q-функція Маркума $Q_{M}(a,b)$
Середнє	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,$
Дисперсія	$k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}$, де $\mu$ середнє

Означення

Якщо $X_{i}$ - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми $\mu _{i}$ і дисперсіями $\sigma _{i}^{2}$, то статистика

$Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

має нецентрований розподіл хі. Нецентрований розподіл хі має два параметри: $k$ який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість $X_{i}$ ), і $\lambda$ що пов'язаний із середнім значенням випадкових величин $X_{i}$ рівнянням:

$\lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Властивості

Функція щільності

Функція густини ймовірності (pdf) записується

$f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)$

де $I_{\nu }(z)$ - модифікована функція Бесселя першого роду.

Початкові моменти

Перші кілька початкових моментів :

$\mu _{1}^{'}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)$

$\mu _{2}^{'}=k+\lambda ^{2}$

$\mu _{3}^{'}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)$

$\mu _{4}^{'}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})$

де $L_{n}^{(a)}(z)$ - функція Лаґерра . Зверніть увагу, що 2 $n$ий момент такий самий, як і $n$ий момент нецентрованого розподілу хі-квадрат, де $\lambda$ замінюється на $\lambda ^{2}$ .

Двовимірний нецентрований розподіл хі

Нехай $X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n$, набір n незалежних і однаково розподілених двовимірних нормальних випадкових векторів з граничними розподілами $N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2$, кореляцією $\rho$, і матрицею середнього вектора та коваріації

$E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},$

з $\Sigma$ позитивно визначений . Позначимо

$U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.$

Тоді спільний розподіл U, V є центрованим або нецентрованим двовимірним розподілом хі з n ступенями свободи. Якщо один або обидва $\mu _{1}\neq 0$ або $\mu _{2}\neq 0$, то розподіл нецентрований двовимірний розподіл хі.

Подібні розподіли

• Якщо $X$ є випадкова величина з нецентрованим розподілом хі, випадкова величина $X^{2}$ матиме нецентрований розподіл хі-квадрат .
• Якщо $X$ має розподіл хі: $X\sim \chi _{k}$, тоді $X$ також нецентрований хі розподіл: $X\sim NC\chi _{k}(0)$ . Іншими словами, розподіл хі є окремим випадком нецентрованого розподілу хі (тобто з нульовим параметром нецентрованості).
• Нецентрований розподіл хі з 2 ступенями свободи еквівалентний розподілу Райса, де $\sigma =1$ .
• Якщо X має нецентрований розподіл хі з 1 ступенем свободи та параметром нецентрованості λ, то σ X має згорнений нормальний розподіл, параметри якого дорівнюють σλ і σ ² для будь-якого значення σ.