Нерівність Гарнака

Нерівність Гарнака — нерівність, що оцінює значення у двох близьких точках додатної гармонічної функції. Названа на честь німецького математика Акселя Гарнака. Нерівність Гарнака є досить сильним результатом з якого, зокрема, випливають: сильний принцип максимуму, теорема Гарнака про послідовності гармонічних функцій теореми про компактності сімейств гармонічих функцій, теорема Ліувіля.

Твердження нерівності

Нехай f - функція визначена у кулі в Rⁿ з радіусом R і центром в точці x₀. Якщо f є неперервною в замиканні кулі і гармонійною у відкритій кулі, тоді для кожної точки x для якої |x − x₀| = r < R,

${\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leqslant f(x)\leqslant {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).$

У випадку R² (n = 2) нерівність можна записати:

${R-r \over R+r}f(x_{0})\leqslant f(x)\leqslant {R+r \over R-r}f(x_{0}).$

Для загальних областей $\Omega$ в $\mathbf {R} ^{n}$ нерівність можна подати в такому виді: якщо $\omega$ є обмеженою областю для якої ${\bar {\omega }}\subset \Omega$, тоді є константа $C$ така що

$\sup _{x\in \omega }u(x)\leqslant C\inf _{x\in \omega }\leqslant \mu ^{2}(\tau -t),\tau -\nu ^{2}\leqslant t\leqslant \tau u(x)$

для кожної двічі диференційовної, гармонічної і невід'ємної функції $u(x)$. Константа $C$ не залежить від $u$, а лише від областей $\Omega$ і $\omega$.

Доведення нерівності Гарнака в кулі

Згідно інтегральної формули Пуассона

$f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,$

де ω_{n − 1} позначає площу сфери радіуса 1 в Rⁿ і r = |x − x₀|.

Оскільки

$R-r\leqslant |x-y|\leqslant R+r,$

для виразу під інтегралом виконуються нерівності

${\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leqslant {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leqslant {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.$

Підставивши ці нерівності в інтеграл вище і враховуючи, що середнє значення гармонічної функції на сфері рівне значенню функції в центрі сфери:

$f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy$

одержуємо нерівність Гарнака.

Узагальнення для еліптичних рівнянь

Нерівність Гарнака узагальнюється на невід'ємні розв'язки широкого класу лінійних еліптичних рівнянь виду

${\mathcal {L}}u=-\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(a_{ij}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u$

з рівномірно додатно означеною матрицею $\ A=(a_{i,j})_{n\times n}$

$\lambda \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\leqslant \Lambda \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}$

де $\Lambda >\lambda >0$ — числа, $\xi =(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n})$ — будь-який n-вимірний вектор, $x\in \Omega$. При цьому стала C нерівності Гарнака залежить тільки від $\Lambda ,\lambda$, деяких норм молодших коефіцієнтів оператора ${\mathcal {L}}$ і відстані між границями $\Omega$ і $\omega$.

Узагальнення для параболічних рівнянь

Для невід'ємних розв'язків $u(x,t)$ рівномірно параболічних рівнянь виду

${\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u$

теж існує аналог нерівності Гарнака. Тут коефіцієнти матриці $\ (a_{i,j})_{n\times n}$ задовольняють ті ж умови, що й вище.

У цьому випадку можлива тільки одностороння нерівність

$u(x,t)\leqslant Cu(y,\tau )$

для точок $(x,t)$, що лежать всередині параболоїда

$\left\{(x,t):|x-y|^{2}\leqslant \mu ^{2}(\tau -t),\;\tau -\nu ^{2}\leqslant t\leqslant \tau \right\}$

з вершиною в точці $(y,\tau )$.

При цьому $C$ залежить від величин $y,\tau ,\Lambda ,\lambda ,\mu ,\nu ,$ деяких норм молодших коефіцієнтів оператора ${\mathcal {L}}$ і від відстаней між границею параболоїда і границею області, в якій $u(x,t)\geqslant 0.$

Якщо, наприклад, $u(x,t)\geqslant 0$ в циліндрі

$Q=(a,b]\times \Omega ,\;\omega \subset \Omega$

відстань між $\partial \Omega$ і $\partial \omega$ є більшою або рівною d> 0 і d є достатньо малим, то в $(a-d^{2},b]\times \omega$ виконується нерівність:

$\ln {\frac {u(x,t)}{u(y,\tau )}}\leqslant C\left({\frac {|x-y|^{2}}{\tau -t}}+{\frac {\tau -t}{d^{2}}}+1\right).$

Зокрема, якщо $u(x,t)\geqslant 0$ в $Q$ і компакти $Q_{1},Q_{2}$ вкладені в $Q$, і до того ж:

$\delta =\min _{(x,t)\in Q_{1},(y,\tau )\in Q_{2}}(t-\tau >0)$

то

$\max _{(x,t)\in Q_{2}}u(x,t)\leqslant C\max _{(x,t)\in Q_{1}}u(x,t),$

де $C=C(\delta ,Q,Q_{1},Q_{2},{\mathcal {L}}).$

Приклад функції

$u(x,t)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x_{i}+t\sum _{i=1}^{n}k_{i}^{2}\right)$

що є розв'язком рівняння теплопровідності $u_{t}-\Delta u=0$ при будь-яких $k_{1},k_{2},...,k_{n}$ показує неможливість в параболічному випадку двосторонніх оцінок.

Див. також

• Гармонічна функція

Посилання

• Kamynin, L.I.; Kuptsov, L.P. (2001), Harnack inequality, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Джерела

• Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene, Leipzig: V. G. Teubner
• John, Fritz (1982), Partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, т. 1 (вид. 4th), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
• Moser, Jürgen (1961), On Harnack's theorem for elliptic differential equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 14 (3): 577—591, doi:10.1002/cpa.3160140329, MR 0159138
• Moser, Jürgen (1964), A Harnack inequality for parabolic differential equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 17 (1): 101—134, doi:10.1002/cpa.3160170106, MR 0159139
• Serrin, James (1955), On the Harnack inequality for linear elliptic equations, Journal d'Analyse Mathématique, 4 (1): 292—308, doi:10.1007/BF02787725, MR 0081415