Нерівність Бішопа — Громова

Нерівність Бішопа — Громова — теорема порівняння в рімановій геометрії. Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова про компактність.

Нерівність названа на честь Річарда Бішопа та Михайла Громова.

Формулювання

Нехай $M$ — повний n-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу кривиною Річчі, тобто

$\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K$

для сталої $K\in \mathbb {R}$.

Позначимо через $B(p,r)_{M}$ кулю радіуса r навколо точки p, визначену відносно ріманової функції відстані.

Нехай $\mathbb {M} ^{n}(K)$ позначає n-вимірний модельний простір. Тобто $\mathbb {M} ^{n}(K)$ — повний n-вимірний однозв'язний простір сталої секційної кривини $K$. Таким чином,

• $\mathbb {M} ^{n}(K)$ є n-сферою радіуса $1/{\sqrt {K}}$, якщо $K>0$, або
• n-вимірним евклідовим простором, якщо $K=0$, або
• простором Лобачевського з кривиною $K<0$.

Тоді для будь-яких $p\in M$ і ${\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)$ функція

$\phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}{\operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}}}$

не зростає в інтервалі $(0,\infty )$.

Зауваження

• При $K=0$ нерівність можна записати так

  $\operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M}$

при $\lambda \geqslant 1$ .

• Якщо r прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що

  $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}.$

Цю версію вперше довів Бішоп.

Див. також

• Теорема Маєрса