Нерівність Бернуллі

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо $x\geq -1$, то

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$ для всіх $n\in \mathbb {N} _{0}.$

Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:

• якщо $n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$, то $(1+x)^{n}\geq 1+nx$
• якщо $n\in (0;1)\!\$, то $(1+x)^{n}\leq 1+nx$
• при цьому рівність досягається в двох випадках: $\left[{\begin{matrix}\forall x\neq -1,n=0\\\forall n\neq 0,x=-1\end{matrix}}\right.$ помилка

Доведення

Доведення $\forall n\in \mathbb {N} _{0}$ проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)\geq (1+nx)+x=1+(n+1)x$.

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші $n\in \mathbb {R}$. Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нижче.
Розглянемо $f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\$, причому $x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\$.
Похідна $f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\$ при $x=x_{0}=0\!\$, оскільки $n\neq 0\!\$.
Функція $f\!\$ двічі диференційовна в проколотому околі точки $x_{0}\!\$. Тому $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\$. Отримуємо:

• $f''(x)>0\!\$ ⇒ $f(x)\geq f(x_{0})\!\$ при $n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$
  
• $f''(x)<0\!\$ ⇒ $f(x)\leq f(x_{0})\!\$ при $n\in (0;1)\!\$
  

Значення функції $f(x_{0})=1\!\$, відповідно, справедливі наступні твердження:

• якщо $n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$, то $(1+x)^{n}\geq 1+nx$
• якщо $n\in (0;1)\!\$, то $(1+x)^{n}\leq 1+nx$

Неважко помітити, що за відповідних значень $x_{0}=0\!\$ або $n=0,n=1\!\$ функція $f(x)=f(x_{0})\!\$. При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на $n\!\$, що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.

Зауваження

• Нерівність також справедлива для $x\geq -2$ (при $n\in \mathbb {N} _{0}$), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку $x\in \left[-2,-1\right)$ не працює.

Назва

Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)