Формулювання
ред.
Нехай
v
i
∈
R
n
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle v_{i}\in \mathbb {R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}
, а
M
{\displaystyle M}
- матриця із комплексними стовпцями якої є вектори
v
i
:
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}
. Тоді
|
det
(
M
)
|
⩽
∏
i
=
1
n
|
|
v
i
|
|
2
,
{\displaystyle |\det(M)|\leqslant \prod _{i=1}^{n}{||v_{i}||}_{2},}
де
|
|
⋅
|
|
2
{\displaystyle {||\cdot ||}_{2}}
— евклідова норма вектора , тобто для вектора
a
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})}
норма рівна
|
|
a
|
|
2
:=
|
a
1
|
2
+
|
a
2
|
2
+
⋯
+
|
a
n
|
2
=
(
∑
i
=
1
n
|
a
i
|
2
)
1
/
2
{\displaystyle ||a||_{2}:={\sqrt {|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\dotsb +|a_{n}|^{2}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)^{1/2}}
У випадку матриці з дійсними елементами, з точки зору геометрії нерівність стверджує, що об'єм
n
{\displaystyle n}
-вимірного паралелепіпеда є максимальним, коли його задають взаємно перпендикулярні вектори .
Доведення
ред.
Для довільної квадратної матриці
M
{\displaystyle M}
з комплексними елементами матриця
A
=
M
M
∗
{\displaystyle A=MM^{*}}
є додатноозначеною. Окрім того
det
A
=
(
det
M
)
2
{\displaystyle \det A=(\det M)^{2}}
і
a
i
i
=
|
|
v
i
|
|
2
2
.
{\displaystyle a_{ii}={||v_{i}||}_{2}^{2}.}
Тому достатньо довести твердження:
Якщо матриця
A
{\displaystyle A}
розмірності
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
є додатноозначеною , то
|
A
|
⩽
a
11
a
22
…
a
n
n
.
{\displaystyle |A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.}
Визначник
|
A
|
{\displaystyle |A|}
можна представити у вигляді
|
A
|
=
a
11
|
a
22
…
a
2
n
a
32
…
a
3
n
…
…
…
a
n
2
…
a
n
n
|
+
|
0
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
…
…
…
…
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
.
{\displaystyle |A|=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.}
Так як
A
{\displaystyle A}
додатноозначена, то і матриця, яка є першим доданком в сумі, теж додатноозначена. Позначимо
A
′
{\displaystyle A'}
матрицю, що одержується з
A
{\displaystyle A}
вилученням першого рядка і стовпця. Оскільки вона є додатноозначеною то додатноозначеною є і її союзна матриця (оскільки її власними значеннями будуть
det
A
′
/
λ
{\displaystyle \det A'/\lambda }
, де
λ
{\displaystyle \lambda }
— власні значення матриці
A
′
{\displaystyle A'}
). Проіндексуємо рядки і стовпці A' від 2 до
n
{\displaystyle n}
(тобто кожен елемент буде мати той же індекс, що і в
A
{\displaystyle A}
). Якщо позначити
M
i
j
{\displaystyle M^{ij}}
— мінор матриці
A
′
{\displaystyle A'}
при вилученні
i
{\displaystyle i}
-го рядка і
j
{\displaystyle j}
-го стовпця, то елемент
A
i
j
{\displaystyle A_{ij}}
союзної матриці буде рівним
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
{\displaystyle (-1)^{i+j}M^{ij}}
. Натомість у другому визначнику вище множник біля
a
1
j
a
i
1
{\displaystyle a_{1j}a_{i1}}
буде рівний
(
−
1
)
1
+
j
(
−
1
)
1
+
i
−
1
M
i
j
{\displaystyle (-1)^{1+j}(-1)^{1+i-1}M^{ij}}
тобто
−
A
i
j
{\displaystyle -A_{ij}}
.
Отже, квадратична форма по змінним
a
12
,
a
13
,
…
,
a
1
n
{\displaystyle a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}}
, якою є другий доданок, є відємноозначеною. Тому
|
A
|
⩽
a
11
|
a
22
…
a
2
n
a
32
…
a
3
n
…
…
…
a
n
2
…
a
n
n
|
{\displaystyle |A|\leqslant a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}}
і рівність є можливою тоді і лише тоді коли всі
a
12
,
a
13
,
…
,
a
1
n
{\displaystyle a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}}
є рівними нулю.
Звідси, застосовуючи індукцію, отримуємо необхідний результат.
Матриці Адамара
ред.
В комбінаториці матриці з елементами з
{
+
1
,
−
1
}
{\displaystyle \{+1,\;-1\}}
, для яких у нерівності Адамара виконується рівність, називаються матрицями Адамара . Таким чином, визначник таких матриць по модулю дорівнює
n
n
2
{\displaystyle n^{\frac {n}{2}}}
. З таких матриць отримують коди Адамара .
Література
ред.
R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis , SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes , Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities , Berlin-Gottingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.