Нерв покриття

Нерв покриття — конструкція в топології, яка дає симпліційний комплекс за довільним покриттям.

Поняття нерва покриття ввів Павло Александров.

Визначення

Нехай $\{W_{\alpha }\}$ — скінченне покриття топологічного простору$X$. Нерв покриття $\{W_{\alpha }\}$ — це абстрактний симпліційний комплекс $N$, множина вершин якого ототожнена з множиною індексів покриття, при цьому $N$ містить симплекс з вершинами$\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ тоді і тільки тоді, коли

$\bigcap _{i=1}^{n}W_{\alpha _{i}}\not =\varnothing$.

Варіації та узагальнення

• Граф перетинів — 1-вимірний кістяк нерва.

Властивості

• Теорема про нерв. Якщо $X$ тріангульовне і $\{W_{\alpha }\}$ — скінченне покриття замкнутими множинами, причому всі непорожні перетини стягувані, то нерв покриття гомотопічно еквівалентний $X$.
  • Зокрема, звідси випливає теорема Хеллі .

Див. також

• Когомології Александрова — Чеха