Невласний інтеграл

Невла́сний інтегра́л, невласти́вий інтегра́л — розширення поняття інтеграла Рімана. В інтегралі Рімана розглядають

• скінченний проміжок інтегрування [a, b];
• підінтегральна функція f(x) — обмежена (необхідна умова інтегровності функції за Ріманом).

Невласний інтеграл I (першого) роду розглядається на нескінченному проміжку інтегрування (і обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по скінченних проміжках, які «розширюються»), а невласний інтеграл II (другого) роду — це інтеграл з необмеженою підінтегровною функцією (обчислюється як границя послідовності інтегралів Рімана по інтервалах, які наближаються до особливої точки підінтегральної функції, де ця функція прямує до нескінченності).

Подальшим узагальненням інтеграла Рімана є поняття головного значення інтеграла за Коші.

Невласний інтеграл першого роду («нескінченний інтервал»)

Означення

Невласний інтеграл першого роду є площею нескінченно широкої криволінійної трапеції

Нехай a ∈ R. Невласний інтеграл першого роду визначається на одному з таких нескінченних інтервалів:

1. (a, +∞);
2. (−∞, a);
3. (-∞, +∞).

Означення для інтервалу (a, +∞)

Означення. Нехай функція f : (a, +∞) → R така, що ∀ A > a : f ∈ R([a, A]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

$\int _{a}^{A}f(x)\,dx=:F(A).$

Якщо існує скінченна границя послідовності інтегралів F(A), коли A → +∞, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (a, +∞) і позначають символом $\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx;$

• невласний інтеграл $\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx$ називають збіжним.

Якщо ж виконуються умови означення, але границя F(A) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Аналогічно можна дати означення невласного інтеграла першого роду для інтервалу (−∞, a).

Приклад. Розглянемо інтеграл

$\int _{-1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx.$

Для довільного A > 0 функція f(x) = 1/x ∉ R([-1, A]) (бо є необмеженою в околі точки 0). Отже, даний інтеграл не є невласним інтегралом першого роду.

Приклад. Розглянемо інтеграл

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.$

Для всіх A > 0 функція f(x) = 1/(1+x²) ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

$F(A):=\int _{0}^{A}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\mathop {\mathrm {arctg} } \,x{\Bigr |}_{x=0}^{A}=\mathop {\mathrm {arctg} } \,A\rightarrow \pi /2,\quad A\to +\infty .$

Отже, даний невласний інтеграл є збіжним, і його значення дорівнює π/2.

Приклад. Розглянемо інтеграл

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x}}\,dx.$

Для всіх A > 1 функція f(x) = 1/x ∈ R([1, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

$F(A):=\int _{1}^{A}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{x=1}^{A}=\ln A\rightarrow +\infty ,\quad A\to +\infty .$

Отже, даний невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад. Розглянемо інтеграл

$\int _{0}^{+\infty }\cos x\,dx.$

Для всіх A > 0 функція f(x) = cos x ∈ R([0, A]) як обмежена функція. Отже, даний інтеграл є невласним інтегралом першого роду. Дослідимо його збіжність:

$F(A):=\int _{1}^{A}\cos x\,dx=\sin x{\Bigr |}_{x=0}^{A}=\sin A.$

Оскільки не існує границі sin A при A → +∞, то даний невласний інтеграл є розбіжним.

Означення для інтервалу (−∞, +∞)

Означення. Нехай функція f : (−∞, +∞) → R така, що ∀ A, B ∈ R, A < B : f ∈ R([A, B]), тобто є скінченним інтеграл Рімана

$\int _{A}^{B}f(x)\,dx=:F(A,B);$

Якщо існує скінченна подвійна границя послідовності інтегралів F(A, B), коли A → −∞ та B → +∞ незалежно одне від одного, то

• значення цієї границі називають невласним інтегралом першого роду для функції f по інтервалу (−∞, +∞) і позначають одним із символів

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx,\qquad \int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx$

• невласний інтеграл $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ називають збіжним.

Якщо ж виконується умова означення, але границя F(A, B) не існує або рівна ±∞, то кажуть, що невласний інтеграл першого роду для функції f розбігається (або є розбіжним).

Властивості

• $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ збігається ⇔ ∀a ∈ R інтеграли $\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx,$ $\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx$ є збіжними;

• $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ розбігається ⇔ ∃a ∈ R таке, що хоча б один із інтегралів $\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx,$ $\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx$

є розбіжним.

Критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

Невласний інтеграл $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$ збігається тоді і лише тоді, коли

$\forall \varepsilon >0\quad \exists A_{0}\geq a\quad \forall A'\geq A_{0}\quad \forall A''\geq A_{0}:\quad \left|\int _{A'}^{A''}f(x)\,dx\right|<\varepsilon .$

Аналогічно можна сформулювати критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду по інтервалу (−∞, a).

Ознаки порівняння збіжності невласних інтегралів першого роду

Нехай функція f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞).

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. |f(x)| ≤ g(x) для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx збігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж збігається.

• Якщо існує функція g(x) така, що
  1. 0 ≤ g(x) ≤ |f(x)| для всіх x ≥ a та
  2. ∫_a^+∞g(x) dx розбігається,

то ∫_a^+∞f(x) dx теж розбігається.

У випадку, коли f(x) — невід'ємна, ознаки порівняння можна схематично записати у вигляді:

       f(x) ≤ g(x)
        зб. ⇐ зб.
      розб. ⇒ розб.

Аналогічні твердження мають місце для невласних інтегралів по інтервалам (−∞, a) та (−∞, +∞).

Абсолютна збіжність

Означення. Невласний інтеграл $\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є невласний інтеграл

$\int _{a}^{+\infty }|f(x)|\,dx.$

Означення. Збіжний невласний інтеграл, який не є абсолютно збіжним, називається умовно збіжним.

Теорема. Якщо невласний інтеграл збігається абсолютно, то він збігається.

Ознаки збіжності

Ознака Діріхле

Нехай для функцій {f, g} ⊂ C([a, +∞)) виконуються умови:

1. існує стала C ∈ R така, що для всіх A ≥ a: $\left|\int _{a}^{A}f(x)dx\right|\leq C;$
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. g(x) → 0 при x → +∞.

Тоді збіжним буде невласний інтеграл $\int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx.$

Приклад. Розглянемо інтеграл Діріхле

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx.$

Цей інтеграл є збіжним за ознакою Діріхле: функції f(x) = sin x та g(x) = 1/x є неперервними на [1, +∞) та задовольняють умовам 1—3 ознаки Діріхле.

Ознака Абеля

Нехай функції f, g визначені на [a, +∞) та задовольняють умовам:

1. збіжним є невласний інтеграл $\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx;$
2. функція g монотонна на [a, +∞);
3. функція g — обмежена на [a, +∞).

Тоді збіжним буде невласний інтеграл $\int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx.$

Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)

Невласний інтеграл другого роду є площею нескінченно високої криволінійної трапеції

Невласний інтеграл другого роду є узагальненням інтеграла Рімана для випадку необмеженої функції.

Нехай функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [a, b).

Означення. Точка b називається особливою точкою функції f(x), якщо

• для всіх α ∈ (0, b − a) функція f є обмеженою на інтервалі [a, b − α);
• функція f — необмежена на інтервалі [a, b).

Розглянемо функцію

$F(\alpha ):=\int _{a}^{b-\alpha }f(x)\,dx,\quad \alpha \in (0,b-a).$

Означення. Нехай виконуються умови:

1. функція f(x) визначена та неперервна на інтервалі [a, b);
2. точка b — особлива точка функції f(x);
3. існує скінченна границя F(α) при α → 0.

Тоді

• значення цієї границі називають невласним інтегралом другого роду і позначають символом $\int _{a}^{b}f(x)\,dx;$

• кажуть, що цей невласний інтеграл збігається (або є збіжним).

Якщо виконуються умови 1—2 означення, але границя F(α) не існує або дорівнює ±∞, то такий невласний інтеграл розбігається (називається розбіжним).

Зауваження. У випадку, коли функція f(x) має скінченну кількість особливих точок на проміжку інтегрування, то інтеграл розбивають на суму інтегралів по інтервалам, в кожному з яких присутня лише одна особлива точка на одному з кінців інтегрування.

Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів

Нижче наведено відображення, які пов'язують інтервали скінченної на нескінченної довжин:

   x           заміна змінної          t
 I [a, +∞)  →  x = a/(1−t)          →  [0, 1)
II [a, b)   →  x = b − (b−a)/(1−t)  →  [0, +∞)

У невласному інтегралі першого роду виконаємо заміну змінних згідно рядку I:

$\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx={\begin{vmatrix}x={\frac {a}{1-t}}\\dx={\frac {a}{(1-t)^{2}}}\,dt\end{vmatrix}}=\int _{0}^{1}{\frac {a}{(1-t)^{2}}}f\left({\frac {a}{1-t}}\right)\,dt,$

в результаті чого отримаємо інтеграл по скінченному проміжку [0, 1] від необмеженої функції, тобто невласний інтеграл другого роду.

І навпаки, виконавши заміну в невласному інтегралі другого роду згідно рядку ІІ

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\begin{vmatrix}x=b-{\frac {b-a}{1-t}}\\dx=-{\frac {b-a}{(1-t)^{2}}}\,dt\end{vmatrix}}=-\int _{0}^{+\infty }{\frac {b-a}{(1-t)^{2}}}f\left(b-{\frac {b-a}{1-t}}\right)\,dt,$

отримаємо невласний інтеграл першого роду по нескінченному проміжку [0, +∞).

Зауваження. Зв'язок між невласними інтегралами І та ІІ родів дозволяє звести питання про збіжність невласного інтеграла ІІ роду до питання про збіжність невласного інтеграла І роду, а саме: невласний інтеграл ІІ роду збігається тоді і лише тоді, коли збігається відповідний невласний інтеграл І роду.

Інтеграл від необмеженої функції по нескінченному проміжку

Розглянемо інтеграл

$\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx,$

в якому підінтегральна функція f(x) має скінченну кількість особливих точок p₁ < p₂ < … < p_n всередині проміжку інтегрування. Щоб обчислити даний інтеграл, потрібно скористатися рівністю

$\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\int _{a}^{p_{n}+1}f(x)\,dx+\int _{p_{n}+1}^{+\infty }f(x)\,dx.$

В правій частині цієї рівності перший інтеграл — це інтеграл по скінченному проміжку інтегрування зі скінченною кількістю полюсів (див. Зауваження в розділі Невласний інтеграл другого роду («від необмеженої функції»)), а другий інтеграл — це невласний інтеграл першого роду (якщо f(x) задовольняє умові означення для інтервалу (a, +∞)). ).

Гамма-функція та бета-функція

Виділяють особливий клас функцій, які представлені у вигляді власного або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а і від параметра. Такі функції називаються інтегралами, залежними від параметра. До їх числа відносяться гамма-функція та бета-функція Ейлера.

Гамма функція представляється невласним інтегралом першого роду:

$\Gamma (a)=\int _{0}^{+\infty }x^{a-1}\exp(-x)\,dx,\quad a>0.$

Бета функція є невласним інтегралом другого роду:

$B(a,\,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx,\quad a>0,\,b>0.$

Див. також

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
    • Головне значення інтеграла за Коші
• Метод Самокиша — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

Джерела

• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Невласні інтеграли // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 453. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)