Мішана похідна

Означення

Нехай дано достатньо гладку функцію $f$ багатьох змінних:

$(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$

Ми можемо взяти частинну похідну цієї функції по одному з аргументів $x_{i}$, вважаючи решту аргументів постійними параметрами. В результаті ми одержимо нову функцію:

$(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{n}=const}$

Ця нова функція теж залежить від решти аргументів, як від параметрів. Тобто чисельне значення $\phi$ в загальному випадку залежить від усіх тих змінних $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$, що і оригінальна функція $f$:

$(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})$

Якщо функція $\phi$ виявиться досить гладкою, то ми можемо і її продиференціювати, взявши частинну похідну по тому самому, або по іншому аргументу $x_{j}$:

$(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$

Якщо $\ j\neq i$, то вираз в правій частині рівності (4) називається мішаною похідною.

Теорема Шварца (рівність змішаних похідних)

Для достатньо гладкої функції багатьох змінних значення мішаної похідної не залежить від порядку диференціювання:

$(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$