Мінімальний многочлен (теорія полів)

В теорії полів, мінімальний многочлен — це визначений щодо розширення поля $E/F$ і елемента з $E.$ Мінімальний многочлен елемента, якщо він існує, це член кільця поліномів $F[x],$ від змінної $x$ з коефіцієнтами в $F.$ Для елемента $\alpha \in E,$ нехай $J_{\alpha }$ буде множиною всіх многочленів $f(x)\in F[x]$ таких, що $f(\alpha )=0.$ Елемент $\alpha$ називається коренем або нулем кожного многочлена в $J_{\alpha }.$ Ми так називаємо множину $J_{\alpha },$ бо це ідеал $F[x].$ Нульовий многочлен, всі коефіцієнти якого $0,$ є в кожному $J_{\alpha },$ бо $0\alpha ^{i}=0,\forall \alpha ,i.$ Це робить нульовий многочлен непридатним для класифікації різних значень $\alpha$ за типами, отже його виключаємо. Якщо існує будь-який ненульовий многочлен в $J_{\alpha },$ тоді $\alpha$ називається алгебраїчним елементом над $F,$ і існує нормований, зі старшим коефіцієнтом $1,$ найменшого степеня в $J_{\alpha }$ многочлен. Це і є мінімальний многочлен для $\alpha$ щодо $E/F.$ Він унікальний і незвідний над $F.$ Якщо єдиним членом $J_{\alpha }$ є нульовий многочлен, тоді $\alpha$ називають трансцендентним елементом над $F$ і воно не має мінімального многочлена щодо $E/F.$

Мінімальний многочлен корисний для побудови й аналізу розширень полів. Коли $\alpha$ є алгебраїчним з мінімальним многочленом $a(x),$ найменше поле, яке містить і $F,$ і $\alpha$ ізоморфне до фактор-кільця $F[x]/\langle a(x)\rangle ,$ де $\langle a(x)\rangle$ є ідеалом $F[x]$ утвореним $a(x).$ Мінімальні многочлени також використовуються для означення спряжених елементів.

Приклади

Якщо F = Q, E = R, α = √2, тоді мінімальний многочлен для α це a(x) = x² − 2. Базове поле F важливо тим, що воно визначає можливі коефіцієнти для a(x). Наприклад, якщо взяти F = R, тоді мінімальним многочленом для α = √2 є a(x) = x − √2.

Якщо α = √2 + √3, тоді мінімальний многочлен в Q[x] це a(x) = x⁴ − 10x² + 1 = (x − √2 − √3)(x + √2 − √3)(x − √2 + √3)(x + √2 + √3).

Посилання

• Weisstein, Eric W. Мінімальний многочлен алгебраїчного числа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Мінімальний многочлен на PlanetMath.(англ.)