Мультиіндекс (або мульти-індекс ) — узагальнення поняття цілочислового індексу до векторного індексу, яке використовується в різноманітних галузях математики , пов'язаних з функціями багатьох змінних. Використання мультиіндексу дозволяє спростити (записати у коротшій формі) математичні формули.
Математичний запис мультиіндексу
ред.
n -вимірний мультиіндекс — це вектор
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
)
,
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),}
складений з невід'ємних чисел. Для двох мультиіндексів
α
,
β
∈
N
∪
{
0
}
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \cup \{0\}}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
Покомпоненне додавання і віднімання
α
±
β
=
(
α
1
±
β
1
,
α
2
±
β
2
,
…
,
α
n
±
β
n
)
{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}
α
⩽
β
⇔
α
i
⩽
β
i
∀
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \alpha \leqslant \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}
Абсолютне значення як сума компонент
|
α
|
=
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}
α
!
=
α
1
!
⋅
α
2
!
⋯
α
n
!
{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}
(
α
β
)
=
(
α
1
β
1
)
(
α
2
β
2
)
⋯
(
α
n
β
n
)
{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
…
x
n
α
n
{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}
∂
α
=
∂
1
α
1
∂
2
α
2
…
∂
n
α
n
=
∂
|
α
|
∂
x
1
α
1
∂
x
2
α
2
…
∂
x
n
α
n
,
{\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},}
∂
i
α
i
:=
∂
α
i
/
∂
x
i
α
i
{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}
Застосування
ред.
Використання мультиіндекса дозволяє без проблем узагальнити багато з формул класичного аналізу на випадок багатьох змінних. Ось деякі приклади:
Узагальнення бінома Ньютона на багатовимірний випадок:
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
k
=
∑
|
α
|
=
k
k
!
α
!
x
α
=
∑
|
α
|
=
k
k
!
α
1
!
⋅
α
2
!
⋯
α
n
!
x
1
α
1
x
2
α
2
…
x
n
α
n
{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}\,x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}
Для гладких функцій f і g
∂
α
(
f
g
)
=
∑
ν
⩽
α
(
α
ν
)
∂
ν
f
∂
α
−
ν
g
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}
Для аналітичної функції f від n змінних справедливий розклад
f
(
x
+
h
)
=
∑
α
∈
N
∪
{
0
}
∂
α
f
(
x
)
α
!
h
α
.
{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} \cup \{0\}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}
Для достатньо гладких функцій виконується формула Тейлора
f
(
x
+
h
)
=
∑
|
α
|
⩽
n
∂
α
f
(
x
)
α
!
h
α
+
R
n
(
x
,
h
)
,
{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}
де останній член (залишок) може бути записаний в різних формах. Наприклад, в (інтегральній) формі Коші
R
n
(
x
,
h
)
=
(
n
+
1
)
∑
|
α
|
=
n
+
1
h
α
α
!
∫
0
1
(
1
−
t
)
n
∂
α
f
(
x
+
t
h
)
d
t
.
{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}
Формальний оператор взяття частинної похідної N -го порядку в n -вимірному просторі записується наступним чином:
P
(
∂
)
=
∑
|
α
|
≤
N
a
α
(
x
)
∂
α
.
{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}
Для достатньо гладких функцій в обмеженій області
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
∫
Ω
u
(
∂
α
v
)
d
x
=
(
−
1
)
|
α
|
∫
Ω
(
∂
α
u
)
v
d
x
.
{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}
Ця формула використовується при означенні узагальнених функцій .
Посилання
ред.
