Мотивне інтегрування

Моти́вне інтегрува́ння — це інтегрування зі значеннями в кільці мотивів, тобто класів еквівалентності алгебричних многовидів.

Мотивне інтегрування було започатковане Концевичем при доведенні гіпотези Батирева. Нехай X - гладкий комплексний проективний алгебричний многовид Калабі-Яу вимірності n (що для наших потреб означає існування голоморфної n-форми, яка ніде не перетворюється в 0). Інакше кажучи, n-тий зовнішній степінь $\Omega ^{n}$ голоморфного кодотичного розшарування є тривіальним одновимірним розшаруванням. За допомогою p-адичного інтегрування Батирев довів, що біраціонально еквівалентні гладкі многовиди Калабі-Яу $X$ , $X'$ мають однакові числа Бетті, $\dim \,H^{i}(X,\mathbb {C} )=\dim \,H^{i}(X',\mathbb {C} )$ . Концевич довів за допомогою мотивного інтегрування, що такі ж $X$ , $X'$ мають однакові числа Годжа $\dim \,H^{i}(X,\Omega ^{j})=\dim \,H^{i}(X',\Omega ^{j})$ .

Геометричний підхід ред.

Годжева характеристика $E(X)=\sum (-1)^{i}\dim \,H^{i}(X,\Omega ^{j})u^{i}v^{j}\in \mathbb {Z} [u,v]$ є функцією $\mathrm {Var} _{\mathbb {C} }\to K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })\to \mathbb {Z} [u,v]$ з категорії комплексних многовидів (відокремлюваних редукованих схем скінченного типу), де наївне кільце Ґротендіка $K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })$ - абелева група, породжена класами ізоморфізму [X] таких многовидів зі співвідношеннями $[X]=[Y]+[X-Y]$ для замкненого (за Зариським) підмноговиду $Y\subset X$ . Добуток заданий як $[X]\cdot [Y]=[X\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {C} }Y]$ . Клас ізоморфізму прямої позначається $\mathbb {L} =[\mathbb {A} ^{1}]=[\mathbb {C} ^{1}]$ . Нехай $f:Y\to X$ - відтинково тривіальне розшарування з шаром Z. Це означає, що X можна записати як скінченне диз'юнктивне об'єднання $\cup X_{i}$ локально замкнених підмножин $X_{i}$ , таких, що $f{\big |}=(f^{-1}X_{i}\cong X_{i}\times Z\to X_{i})$ є проєкцією. Тоді $[Y]=[X]\cdot [Z]$ в $K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })$ .

Кажемо, що $\tau \in K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })$ є d-вимірним, $\dim \,\tau =d$ , якщо цей елемент представляється як $\tau =\sum a_{i}[X_{i}]$ , $a_{i}\in \mathbb {Z}$ , $\dim \,X_{i}\leq d$ , і не існує представлення з $\dim \,X_{i}\leq d-1$ для всіх i. За означенням $\dim \,[\emptyset ]=-\infty$ . Вимірність поширюється на локалізацію ${\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }=K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })[\mathbb {L} ^{-1}]$ вимогою $\dim \,\mathbb {L} ^{-1}=-1$ . Функція $\exp(\dim ):{\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }\to \mathbb {Z} \cup \{-\infty \}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ є неархімедовою нормою на ${\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }$ . Поповнення ${\hat {\mathcal {M}}}_{\mathbb {C} }$ у цій нормі є кільцем, у якому приймають значення мотивні міри і мотивні інтеграли. Ряд $\sum _{i=0}^{\infty }\tau _{i}$ з елементами $\tau _{i}\in {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }$ збігається в ${\hat {\mathcal {M}}}_{\mathbb {C} }\Leftrightarrow \tau _{i}\to 0\Leftrightarrow \dim \,\tau _{i}\to -\infty$ при $i\to \infty$ .

Простір, по якому відбувається інтегрування, це простір дуг, або $\infty$ -струменів ${\mathcal {J}}_{\infty }(X)$ для даного гладкого комплексного проективного многовида X вимірності n. Схема m-струменів ${\mathcal {J}}_{m}(X)$ визначається природною бієкцією

\mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z\times \mathrm {Spec} \mathbb {C} [t]/t^{m+1},X)\cong \mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z,{\mathcal {J}}_{m}(X))

для всіх $\mathbb {C}$ -схем Z. В дійсності, ${\mathcal {J}}_{m}(X)$ є гладким многовидом і $\mathbb {A} ^{mn}$ -розшаруванням над X, зокрема, $\dim \,{\mathcal {J}}_{m}(X)=n(m+1)$ . Точніше, ${\mathcal {J}}_{m}(X)$ є $\mathbb {A} ^{n}$ -розшаруванням над ${\mathcal {J}}_{m-1}(X)$ . Простір дуг, або $\infty$ -струменів, ${\mathcal {J}}_{\infty }(X)=\lim \limits _{\longleftarrow }{\mathcal {J}}_{m}(X)$ , задовольняє природній бієкції

\mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z\times \mathrm {Spec} \mathbb {C} [[t]],X)\cong \mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z,{\mathcal {J}}_{\infty }(X)).

Підмножина $A\subset {\mathcal {J}}_{\infty }(X)$ називається циліндричною, якщо $A=\pi _{m}^{-1}B$ для деякої конструктивної підмножини $B\subset {\mathcal {J}}_{m}(X)$ , де $\pi _{m}:{\mathcal {J}}_{\infty }(X)\to {\mathcal {J}}_{m}(X)$ - канонічне відображення. Алгебра конструктивних підмножин схеми - це найменша алгебра, що містить підмножини, замкнені в топології Зариського. Об'ємом (мірою) циліндричної множини A назвемо елемент $\mu _{X}(A)=[B]\cdot \mathbb {L} ^{-nm}\in {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }$ . Він не залежить від вибору m: $\mu _{X}(A)=[(\pi _{m}^{m+k})^{-1}B]\cdot \mathbb {L} ^{-n(m+k)}$ , $k\geq 0$ , оскільки $\pi _{m}^{m+k}:{\mathcal {J}}_{m+k}(X)\to {\mathcal {J}}_{m}(X)$ - локально тривіальне $\mathbb {A} ^{k}$ -розшарування. Клас циліндричних множин поширюється до класу вимірних множин. Серед вимірних функцій міститься функція визначена порядком дотичності дуги до підсхеми $Y\subset X$ , визначеної пучком ідеалів ${\mathcal {I}}_{Y}$ . Отже, функція $\mathrm {ord} _{Y}:{\mathcal {J}}_{\infty }(X)\to \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ співставляє дузі $\vartheta :{\mathcal {O}}_{X}\to \mathbb {C} [[t]]$ супремум $\mathrm {ord} _{Y}(\vartheta )$ поміж всіх $e\geq 0$ , таких, що $\vartheta ({\mathcal {I}}_{Y})\subset (t^{e})$ . Тоді для $s\geq 0$ $\mathrm {ord} _{Y}^{-1}(s)$ є циліндричною множиною. Якщо підмноговид Y ніде не щільний в X, то $\mathrm {ord} _{Y}^{-1}(\infty )={\mathcal {J}}_{\infty }(Y)$ є вимірною множиною міри 0. Мотивний інтеграл функції $\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{Y}}$ визначається як

\int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{Y}}d\mu _{X}=\sum _{s=0}^{\infty }\mu (\mathrm {ord} _{Y}^{-1}(s))\cdot \mathbb {L} ^{-s}.

Наприклад, для $Y=\emptyset$ $\mathrm {ord} _{Y}\equiv 0$ і $\int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}d\mu _{X}=[X]$ . Для ефективного дивізора $Y=\sum _{i=1}^{s}r_{i}D_{i}$ ( $r_{i}>0$ ) з носієм з нормальними перетинами і гладкими $D_{i}$ маємо

\int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{Y}}d\mu _{X}=\sum _{J\subset \{1,\dots ,s\}}[D_{J}^{\circ }]\prod _{j\in J}{\frac {\mathbb {L} -1}{\mathbb {L} ^{r+1}-1}}=\sum _{J\subset \{1,\dots ,s\}}{\frac {[D_{J}^{\circ }]}{\prod _{j\in J}[\mathbb {P} ^{r_{j}}]}},

де $D_{J}^{\circ }=\cap _{j\in J}D_{j}-\cup _{j\notin J}D_{j}$ .

Якщо $f:X''\to X$ - власний біраціональний морфізм гладких $\mathbb {C}$ -схем і D - ефективний дивізор на X, то

\int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{D}}d\mu _{X}=\int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X'')}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{f^{-1}D+K_{X''/X}}}d\mu _{X''}

(формула Концевича заміни змінних в мотивному інтегралі). Відносний канонічний дивізор $K_{X''/X}$ визначається ідеалом Якобі для f. Ця формула застосована до відображень $X'\leftarrow X''\to X$ і дозволяє зробити висновок, що біраціонально еквівалентні $X'$ , $X$ мають однаковий об'єм $[X']=[X]\in {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }$ , а, отже, і однакові числа Годжа.

Арифметичний підхід ред.

В арифметичному підході мотивний об'єм співставляється не множинам, а формулам логіки з мови Денефа-Паса, що описує кільця дискретного нормування. На цьому шляху вдається обчислити деякі p-адичні інтеграли, які не піддаються прямому обчисленню. Денефом та Лезером доведена теорема про універсальність мотивного об'єму: нехай $\phi$ - формула для кілець дискретного нормування; K - локально компактне неархімедове поле з кільцем цілих ${\mathcal {O}}_{K}$ та полем лишків $\mathbb {F} _{q}$ , $q=p^{m}$ ; dx - міра Хаара на $K^{n}$ , нормована умовою, що міра ${\mathcal {O}}_{K}^{n}$ - одиниця; $\sum _{i}a_{i}[X_{i}]\mathbb {L} ^{-N_{i}}$ - мотивний об'єм $\phi$ (збіжна сума многовидів над $\mathbb {Z}$ ). Якщо відкинути скінченне число простих p, то у решті випадків p-адичний об'єм може бути обчислений через мотивний об'єм як $\mathrm {vol} (\{x\in {\mathcal {O}}_{K}^{n}\mid \phi ^{K}(x)\},dx)=\sum _{i}a_{i}\#X_{i}(\mathbb {F} _{q})q^{-N_{i}}$ .