Многочлен поділу кола

Многочлен поділу коламногочлен, що має вигляд:

де первісні корені степеня n з одиниці і добуток береться за всіма такими коренями. Степінь многочлена — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.

Властивості ред.

Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:

 

де добуток береться за всіма додатними дільниками d числа n, включно зі самим n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени   шляхом ділення многочлена   на добуток усіх  :

 

При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P, а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.

Якщо n=pmстепінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:

 

Зокрема для m = 1:

 

Для многочлена   можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:

 

Наприклад:

 

Над полем раціональних чисел усі многочлени   є незвідними[1], але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків за модулем 11 виконується рівність:  

Рівняння поділу кола ред.

Рівняння  , що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням поділу кола. У випадку числових полів розв'язок цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:

 

де дріб   нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язування в радикалах рівняння поділу кола тісно пов'язане із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею поділу кола на n рівних частин, а саме, задача поділу кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля та лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння   розв'язується в квадратних радикалах.

Приклади ред.

 
 
 
 
 
 

Примітки ред.

  1. Для доведення див. Е. Артін, Теорія Галуа с. 64-66

Джерела ред.

  • Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
  • Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)