Обирається перша зліва колонка, що містить хоч одне ненульове значення.
Якщо верхнє число у цій колонці — нуль, то обмінюється увесь перший рядок матриці з іншим рядком матриці, де у цій колонці нема нуля.
Усі елементи першого рядка діляться на верхній елемент обраної колонки.
Від рядків, що залишились, віднімається перший рядок, помножений на перший елемент відповідного рядка, з метою отримання нуля в першому елементі кожного рядка (крім першого).
Далі, повторюємо ці операції із матрицею, отриманою з початкової матриці після викреслювання першого рядка та першого стовпчика.
Після повторення операцій n − 1 разів отримаємо верхню трикутну матрицю.
Віднімаємо від передостаннього рядка останній рядок, помножений на відповідний коефіцієнт, щоб у передостанньому рядку залишилась лише 1 на головній діагоналі.
Повторюємо попередній крок для наступних рядків. У результаті отримуємо одиничну матрицю і рішення на місці вільного вектора (над ним необхідно виконувати ті самі перетворення).
Розгорнутий алгоритм для знаходження оберненої матриціред.
Нехай дано:
Прямий хід (алгоритм утворення нулів під головною діагоналлю)ред.
Поділимо перший рядок матриці А на отримаємо: , j — стовпець матриці А.
Повторюємо дії для матриці I, за формулою: , s — стовпець матриці I.
Отримаємо:
Будемо утворювати 0 у першому стовпці: .
Повторюємо дії для матриці І, за формулами :
Отримаємо:
Продовжуємо виконувати аналогічні операції використовуючи формули :
за умови, що
Повторюємо дії для матриці І, за формулами :
за умови, що .
Отримаємо:
Зворотний хід (алгоритм утворення нулів над головною діагоналлю)ред.
Використаємо формулу: , при умові, що .
Повторюємо дії для матриці І, за формулою , за умови, що .