Математика доісторичного періоду
Вважається, що математика, як наука, з'явилася в Стародавній Греції в VI-V ст. до н. е. Однак, ще до греків шумери і стародавні єгиптяни відкрили дослідним шляхом деякі математичні закономірності і вміли застосовувати їх на практиці. З сер. III тис. до н. е. у двох колисках цивілізації — у Межиріччі і на берегах Нілу люди вже вміли рахувати кількість та обсяг зерна в коморах, виконувати розрахунки з грошима, розмічати земельні ділянки з певною площею. Ймовірно, математичні розрахунки використовувалися при будівництві грандіозних пірамід у Єгипті та зиккуратів Месопотамії.
До нас дійшли глиняні таблички і папіруси з різними розрахунками. Найбільш відомим серед них є папірус писаря Ахмеса[en], який є посібником-довідником для інших; на папірусі описані способи виконання арифметичних операцій, розрахунків з геометричними фігурами та наведено приклади вирішення практичних задач.
Завдяки таким текстам можна скласти досить широке уявлення про давньоєгипетську математику та математику у древньому Вавілоні. Набагато важче досліджувати попередню епохою розвитку людства, коли писемності ще не було — доісторичний період. Однак, саме тоді з'явилося те, що зараз природно для будь-якої людини і на чому ґрунтується вся математика — навички підрахунку, абстрактне поняття числа і фігури, назви чисел.
Нині кожна людина змалечку у починає оперувати цими поняттями. Наприклад, так робить кожна дитина, коли відповідає на запитання дорослих: «Скільки тобі років?». Але для первісних людей числа не були такими ж абстрактними: у їх свідомості не існувало слова «два». Могло бути два дерева, два каное, дві собаки, дві людини, але такої речі, як просто 2, само по собі, не було. Всім відомий зараз ряд натуральних чисел колись став важливим розумовим здобутком первісної людини.
Джерела знань ред.
Про епоху, коли ще не було писемності, певні відомості дають археологічні розкопки. Наприклад, кістка Ішанго, що була знайдена на однойменній стоянці первісних людей в Африці, вік якої визначається в межах від 20 до 6 тис. років тому, деякі дослідники вважають кісткою з рахунковими відмітками. Інший артефакт — променева кістка молодого вовка з 55 зарубками на ній, яку було знайдено на верхньопалеолітичній стоянці Дольні-Вестоніце в Чехії. Мікель Альберті у книзі «Математична планета. Подорож навколо світу» наводить приклади інших артефактів.[1]
Інший метод дослідження — етноматематика,[1] яка вивчає традиційні культури, що й досі збереглися у ряду народів Африки, Америки, Австралії та Океанії. Племінний устрій і давні звичаї цих народів дають певні можливості відтворити процес виникнення математики у первісному суспільстві минулого.
Етапи розвитку рахунку ред.
Відчуття числа ред.
Відчуття числа є навіть у тварин. Наприклад, коли качка плаває з каченятами по ставку, вона оглядає весь виводок поглядом і якщо когось не бачить, починає кликати його. При цьому вона аж ніяк не рахує каченят, у поширеному розумінні цього слова.
Подібне сприйняття чисел було у первісних людей і воно ж залишилося у деяких племен донині. Так, мисливці з дикого племені індіанців, у яких є назви тільки для чисел 1, 2 і 3, можуть перед полюванням окинути поглядом численну зграю собак і, якщо не вистачає хоча б одного, помічають це і починають кликати її.[2][3]
Встановлення взаємно-однозначної відповідності ред.
Одним зі способів порівняти кількість предметів є встановлення взаємно-однозначної відповідності. Наприклад, якщо маємо набір з восьми каменів і набір з восьми яблук, можна розкласти їх так, щоб навпроти кожного каменю лежала по одному яблуку. Саме так відбувався процес торгівлі між двома первісними племенами. Навпроти кожного товару від першого племені клали по одному товару від другого племені і, в результаті, здійснювався обмін однаковою кількістю предметів.
Описаний вище процес, коли кожному елементу з певної сукупності ставиться у відповідність один елемент іншої множини в математиці називається взаємно-однозначною відповідністю між двома множинами.
Саме з встановлення взаємно-однозначної відповідності між множиною підрахованих предметів та набором рахункових еталонів розпочинався наступний етап розвитку рахунку.
Часто первісні люди носили з собою спеціальні еталони рахунку — палички або кульки. Незабаром, з усіх еталонів вибрали найбільш зручний, який кожен має «завжди при собі» — пальці рук і ніг чи навіть інші частини тіла.
Щоб запам'ятати, скільки тварин він убив на полюванні, первісній людині треба було просто запам'ятати, на якому пальці руки або ноги він зупинив рахунок. Це міг бути другий палець другої ноги, останній палець першої руки і всі пальці. У деяких мовах числа стали так і називатися. Ось приклади:
- Число 18 мовою одного племені Гренландії називається «З іншої ноги три».[4]
- Це ж число мовою одного карибського племені називається «Всі мої руки, три, моя рука».[4]
- Мовою зулусів слово «татізітуна» («взяти великий палець руки») позначає число 6, а слово «у кобміле»(«взяти вказівний палець») — 7.[2]
Дослідник Нової Гвінеї Микола Миклухо-Маклай запропонував папуасам порахувати число днів до повернення корвета «Витязь», нарізавши для цього смужки паперу.
"Перший, розкладаючи шматочки паперу на коліні, при кожному обрізанні повторював «нарі, нарі» (один); інший повторював слово «нарі» і загинав при цьому палець спершу на одній, потім на другій руці. Нарахувавши до десяти і зігнувши пальці обох рук, опустив обидва кулака на коліна промовивши:…"дві руки", причому третій папуас загнув палець руки. З другим десятком було зроблено те ж, причому третій папуас загнув другий палець; теж саме було зроблено для третього десятка; папірці, що лишилися, не складали разом четвертий десяток і продовжували лежати"[5]
Поняття абстрактного числа ред.
Коли мистецтво рахунку ще тільки поступово розвивалося, поняття числа було невіддільним від лічених предметів — число не могло існувати само по собі. В залежності від того, що рахували, що числа могли називатися по-різному.[2] У деяких племен й донині існує поділ числівників за типом лічених об'єктів. Наприклад, у мові племена цимшиан є сім різних типів числівників:
- Для рахунку плоских предметів
- Для рахунку круглих предметів і поділу часу
- Для рахунку людей
- Для рахунку довгих предметів
- Для рахунку каное
- Для міри
- Невизначені числа.[3]
Знадобилося багато часу аби з'явилося поняття числа самого по собі, відокремленого від предметів.
Числові системи ред.
Адитивні ред.
Перші числові системи використовували адитивний принцип, тобто визначеній кількості маленьких чисел давалося назва, а назви великих чисел складалися з назв маленьких. У таблиці наведені як приклад система числення племені Гумульгэл, що живе на островах Торресової Протоки і племені Бакаірі.
| Система числення племені Гамальгэл | Система числення племені Бакаірі | ||
|---|---|---|---|
| Число | Назва | Число | Назва |
| 1 | Урапун | 1 | токале |
| 2 | Окоза | 2 | ахаге |
| 3 | Окоза-урапун | 3 | ахаге-токале |
| 4 | Окоза-окоза | 4 | ахаге-ахаге |
| 5 | Окоза-окоза-урапун | 5 | ахаге-ахаге-токале |
| 6 | Окоза-окоза-окоза | 6 | ахаге-ахаге-ахаге |
Як видно, власні назви мають тільки числа 1 і 2, інші числа мають похідні назви.
Субтрактивні ред.
Більш складні числові системи використовують субтрактивний принцип. Це означає, що назви деяких чисел могли утворюватися шляхом віднімання.
Субтрактивний принцип видно, наприклад, у римській системі нумерації, де число 9 записується, як IX, тобто, як 10-1. Досить складною субтрактивню системою числення з основою 20 користувалося африканське плем'я Йоруба:[6]
| Система числення народу Йоруба | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Число | Назва | Значення | Число | Назва | Значення | |
| 1 | kan | 1 | 31 | mokonlelogbon | +1+30 | |
| 2 | meji | 2 | 32 | mejilelogbon | +2+30 | |
| 3 | meta | 3 | 33 | metalelogbon | +3+30 | |
| 4 | merin | 4 | 34 | merinlelogbon | +4+30 | |
| 5 | maruun | 5 | 35 | maruundinlogoji | -5+20×2 | |
| 6 | mefa | 6 | 36 | merindinlogoji | -4+20×2 | |
| 7 | meje | 7 | 37 | metadinlogoji | -3+20×2 | |
| 8 | mejo | 8 | 38 | mejidinlogoji | -2+20×2 | |
| 9 | mesan | 9 | 39 | mokondinlogoji | -1+20×2 | |
| 10 | mewa | 10 | 40 | ogoji | 20×2 | |
| 11 | mokonlaa | +1+10 | 41 | mokonlogoji | +1+20×2 | |
| 12 | mejilaa | +2+10 | 42 | mejilogoji | +2+20×2 | |
| 13 | metalaa | +3+10 | 43 | metalogoji | +3+20×2 | |
| 14 | merinlaa | +4+10 | 44 | merinlogoji | +4+20×2 | |
| 15 | meéedogun | -5+20 | 45 | maruundinlaàadota | -5-10+20×3 | |
| 16 | merindinlogun | -4+20 | 46 | merindinlaàadota | -4-10+20×3 | |
| 17 | metadinlogun | -3+20 | 47 | metadinlaàadota | -3-10+20×3 | |
| 18 | mejidinlogun | -2+20 | 48 | mejidinlaàadota | -2-10+20×3 | |
| 19 | mokondinlogun | -1+20 | 49 | mokondinlaàadota | -1-10+20×3 | |
| 20 | ogun | 20 | 50 | àadota | -10+20×3 | |
| 21 | mokonlelogun | +1+20 | 51 | mokonlelaàadota | +1-10+20×3 | |
| 22 | mejilelogun | +2+20 | 52 | mejilaàadota | +2-10+20×3 | |
| 23 | metalelogun | +3+20 | 53 | metalaàadota | +3-10+20-×3 | |
| 24 | merinlelogun | +4+20 | 54 | merinlaàadota | +4-10+20×3 | |
| 25 | meéedogbon | -5+30 | 55 | maruundinlogota | -5+20×3 | |
| 26 | merindinlogbon | -4+30 | ||||
| 27 | metadinlogbon | -3+30 | ||||
| 28 | mejidinlogbon | -2+30 | ||||
| 29 | mokondinlogbon | -1+30 | ||||
| 30 | ogbon | 30 | ||||
Назви великих чисел ред.
Багато народів використовували для позначення великих чисел слова «чудовисько», «нескінченність», «більше не злічиш». Так приставка «-тера», що позначає множення вихідної одиниці на 1012, т. е. трильйон (наприклад, терабайт) походить від римського слова «чудовисько», т. е. є однокореневий зі словом «терор».
На мові Руанди 10 000 називається «слон», а 20 000 — «два слона». У Нігерії число 160 000 називається «400 зустрічає 400», а назву числа 10 000 000 можна приблизно перекласти як «Тут так багато речей, що їх число неосяжно».[6]
Арифметичні обчислення ред.
Для рахунку потрібно мати математичні моделі таких важливих подій, як об'єднання кількох множин в одну або, навпаки, відокремлення частини множини. Так з'явилися операції додавання і віднімання. Множення для натуральних чисел з'явилося як, «пакетне» додавання, що повторюється.
Інша важлива практична дія — поділ на частини — з часом абстрагувалася в четверту арифметичну операцію — поділ. Властивості арифметичних операцій відкривалися поступово.
Множення, ділення та операції з дробами набули поширення з розвитком вимірювань.
Перші дроби, зазвичай, мали знаменником 2, 3, 4, 8 або 12. Наприклад, у римлян стандартним дробом була унція (1/12). Середньовічні грошові і мірні системи несуть на собі явний відбиток стародавніх недесяткових систем: 1 англійська пенс = 1/12 шилінга, 1 дюйм = 1/12 фути, 1 фут = 1/3 ярду, дюжина = 12 одиниць і т. д. Десяткові дроби, зручні в складних обчисленнях отримали поширення лише після прийняття метричної системи мір.
Примітки ред.
- ↑ а б Математическая планета, 2014.
- ↑ а б в История математики та 1970—1972.
- ↑ а б Энциклопедия элементарной математики, 1951.
- ↑ а б Перельман, 2012.
- ↑ М.М. Миклухо-Маклай. Збірка творів. — 1950. — Т. 1. — С. 141.
- ↑ а б Mathematics in central Africa before colonization, 2006.
Література ред.
- Альберти, Микель. Математическая планета. Путешествие вокруг света. — Москва : де Агостини, 2014. — (Мир математики) — ISBN 5977407351.
- Берёзкина Э. И., Розенфельд Б. А.. Доисторические времена // История математики. С древнейших времён до начала Нового времени (Под ред. А. П. Юшкевича). — Москва : Наука, 1970—1972. — С. 10—16.
- Перельман Я.І. Занимательная арифметика. — Москва : Центрполиграф, 2012. — ISBN 978-5-9524-4959-6.
- Башмакова И. Г., Юшкевич А. П.. Происхождение систем счисления // Энциклопедия элементарной математики. Книга первая (арифметика). — Ленинград : ГТТИ, 1951. — 449 с.
- Dirk Huylebrouck. Mathematics in central Africa before colonization. — 2006. — 28 с.