Лінійний інтеграл

Означення лінійного інтеграла

Нехай у просторовій області $\mathbf {\textit {V}}$ визначено неперервне векторне поле ${\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} ),\mathbf {\textit {L}}$ — гладка крива, розташована в $\mathbf {\textit {V}}$. Лінійним інтегралом поля ${\bar {a}}$ уздовж лінії $\mathbf {\textit {L}}$ називається криволінійний інтеграл І роду по довжині дуги від скалярного добутку ${\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} )$ на одиничний дотичний вектор ${\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} ):W=\int \limits _{L}{{\bar {a}}(M)\cdot {\bar {\tau }}(M)\,ds}$.

Як і потік, цей інтеграл може представлятися по-різному. Так, якщо врахувати, що похідна ${\bar {\tau }}(M)$ на $ds$ дає зміну радіуса-вектора точки $\mathbf {\textit {M}}$, тобто ${\bar {\tau }}\cdot ds=d{\bar {r}}=dx{\bar {i}}+dy{\bar {j}}+dz{\bar {k}}$, то $W=\int \limits _{L}{{\bar {a}}(M)d{\bar {r}}}$ і $W=\int \limits _{L}{Pdx+Qdy+Rdz}$. Отже, лінійний інтеграл може бути виражений і через лінійний інтеграл по координатах.

Фізичний сенс лінійного інтеграла

якщо ${\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} )$ — силове поле, то $\mathbf {\textit {W}}$ дорівнює роботі цього поля при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії $\mathbf {\textit {L}}$ см. розділ Потрійні інтеграли.

Основні властивості лінійного інтеграла

1)лінійність $\int \limits _{L}{(C1{\bar {a}}_{1}+C2{\bar {a}}_{2}){\bar {\tau }}ds}=C1\int \limits _{L}{{\bar {\tau }}{\bar {a}}_{1}}ds+C2\int \limits _{L}{{\bar {\tau }}{\bar {a}}_{2}}ds$

2)адитивність

$\int \limits _{L_{1}\cup L_{2}}{{\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}\,ds}=\int \limits _{L_{1}}{{\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}\,ds}+\int \limits _{L_{2}}{{\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}\,ds}$. 

Направлення на кожній з частин $L_{1}$ і $L_{1}$ має бути таким же, як і на всій кривій $L_{1}\cup L_{2}$,

3). При зміні напрямку вздовж $\mathbf {\textit {L}}$ лінійний інтеграл змінює знак.

Це випливає з того, що вектор ${\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} )$ змінюється на $-{\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} )$.

4). Якщо $\mathbf {\textit {L}}$ — векторна лінія поля і рух відбувається в напрямку поля, то $\mathbf {\textit {W}} >0$. У цьому випадку вектор ${\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} )$ колінеарний ${\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} )$ , тому ${\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}=\mathop {{\mbox{пр}}{\bar {a}}} \limits _{\bar {\tau }}=\vert {\bar {a}}\vert >0$.

Обчислення лінійного інтеграла

Як і будь-який криволінійний інтеграл, лінійний інтеграл обчислюється зведенням до певного інтеграла по параметру на кривій, зазвичай обчислюють криволінійний інтеграл $W=\int \limits _{L}{Pdx+Qdy+Rdz}$. Якщо крива при параметричному завданні має вигляд

$L:\left\{{\begin{array}{l}x=x(t),\\y=y(t),\\z=z(t),\\\end{array}}\right.t_{0}\leqslant t\leqslant t_{k}$ - безперервно диференціюються, то 

$W=\int \limits _{L}{P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dt+R(x,y,z)\cdot dz}$ $=\int \limits _{t_{0}}^{t_{k}}{\left[{P(x(t),y(t),z(t))\cdot {x}'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot {y}'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot {z}'(t)}\right]dt}$

Напрямок інтегрування визначається напрямом руху по кривій.

Циркуляція векторного поля

Циркуляцією називається лінійний інтеграл векторного поля по замкнутій кривій $\mathbf {\textit {C}} =\oint \limits _{C}{{\bar {a}}\cdot d{\bar {r}}}$.

Зазвичай кажуть, що циркуляція характеризує обертальну здатність поля. Мається на увазі наступне. Якщо векторні лінії поля замкнені, то, як ми бачили, циркуляція по ним в напрямку поля позитивна, при цьому в гідродинамічної інтерпретації частки рідини крутяться по цим замкнутим лініях. Нехай тепер лінії струму довільні, уявімо в обсязі $L$ замкнутий контур $C$. Якщо в результаті руху рідини цей контур буде обертатися, то поле володіє обертальної здатністю, абсолютна величина циркуляції визначатиме кутову швидкість обертання {чим більше |$\mathbf {\textit {C}}$ |, тим вище швидкість}, знак циркуляції покаже, чи збігається напрямок обертання з напрямком інтегрування.