Лінійне наближення

В математиці лінійним наближенням, або лінійною апроксимацією, називають наближення похідної функції за допомогою лінійної функції. Застосовується для наближених розрахунків і в методі кінцевих різниць для розв'язування диференціальних рівнянь.

Визначення ред.

Розглянемо безперервно диференційовану функцію дійсного числа $f(x)$ в околі точки $a$ . За теоремою Тейлора, має місце рівність:

$f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+R_{2}$

де $R_{2}(x)=o(|x-a|)$ — залишковий член.

Лінійне наближення g (x) виходить в результаті ігнорування залишкового члена:

$g(x)=f(a)+f'(a)(x-a).$

У найближчому околі точки $a$ значення цієї функції близькі до значень $f(x)$ і її можна використовувати як заміну значень $f(x)$ в наближених обчисленнях. При цьому в загальному випадку похибка зростає при видаленні від a і дорівнює R2.

Легко помітити, що графік функції $g(x)$ — це дотична до графіка $f(x)$ в точці $a$ .

Література ред.

Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. Calculus III. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — P. 775. — ISBN 0-387-90985-0.
Strang, Gilbert. Calculus. — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0.
Bock, David; Hockett, Shirley O. How to Prepare for the AP Calculus. — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3.