Лінійне диференціальне рівняння

Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

$y^{(n)}(x)+g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +g_{1}(x)y(x)=f(x)$

де $g_{i}(x)$ та $f(x)$ — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких $g_{i}(x)=c_{i}$.

Рівняння

$y^{(n)}(x)+g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +g_{1}(x)y(x)=0$

називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний запис

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

$Ly=f\,$

де диференціальний оператор L — лінійний оператор, у — невідома функція (наприклад, від часу $y(t)$), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

$Ly(t)=f(t)\,$

і, навіть точніше,

$L[y(t)]=f(t)\,$

Лінійний оператор можна розглядати у формі

$L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y\,$

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

$L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(t)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(t)D+A_{n}(t)\right]y$

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D ² у = у ", …), і _я  — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

${\frac {dN}{dt}}=-kN\,$

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли _я  — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{$z$x}, де $z$,- (в загальному випадку)-комплексні значення $z$. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього — похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання

$y^{(n)}+A_{1}y^{(n-1)}+\cdots +A_{n}y=0$

покладемо $y=e^{zx}$, що дає

$z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.$

Діленням на $e^{zx}$ многочлен n-го порядку

$F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,$

Це алгебраїчне рівняння $F(t)=0$, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.

Формально, члени

$y^{(k)}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).$

вихідних диференціальних рівнянь замінюються на $z^{k}$. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень $z_{1},z_{2},...z_{n}$. Підстановка будь-якого з цих значень z в $zx$ дає розв'язок $e^{zx}$ Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.

Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.

Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то $y=x^{k}e^{zx}\,$ є розв'язками ЛОР (де $k\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,$). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.

Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, x^ke^zx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з $Re(y)$ і $Im(y)$, де y — одна з функцій пари.

Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.

Приклад

$y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0\,$

має характеристичне рівняння

$z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.\,$

Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків

$e^{ix},\,e^{-ix},\,e^{x},\,xe^{x}\,.$

Відповідний дійснозначний базис

$\cos x,\,\sin x,\,e^{x},\,xe^{x}\,.$

Приклади

Дано, $y''-4y'+5y=0\,$ . Характеристичне рівняння $z^{2}-4z+5=0\,$ має корені 2 + і і 2 — і. Таким чином, базис розв'язків $\{y_{1},y_{2}\}$ є $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,$ . Тепер у є розв'язком тоді і тільки тоді $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,$ для $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$ .

Оскільки коефіцієнти дійсні,

• ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках
• наші базисні елементи взаємно спряжені

Лінійні комбінації

$u_{1}={\mbox{Re}}(y_{1})={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}=e^{2x}\cos(x)\,$ і

$u_{2}={\mbox{Im}}(y_{1})={\frac {y_{1}-y_{2}}{2i}}=e^{2x}\sin(x)\,$

дають нам дійсний базис $\{u_{1},u_{2}\}$ .

Простий гармонічний осцилятор

схематичне подання простого гармонічного осцилятора

Диференціальне рівняння другого порядку

$D^{2}y=-k^{2}y,$

що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати

$(D^{2}+k^{2})y=0.$

Вираз в дужках може бути факторизований, що дає

$(D+ik)(D-ik)y=0,$

це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для

$(D-ik)y=0\,$

інший для

$(D+ik)y=0.$

Розв'язки, відповідно,

$y_{0}=A_{0}e^{ikx}$

та

$y_{1}=A_{1}e^{-ikx}.$

Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того, для

$y_{0'}={A_{0}e^{ikx}+A_{1}e^{-ikx} \over 2}=C_{0}\cos(kx)$

та

$y_{1'}={A_{0}e^{ikx}-A_{1}e^{-ikx} \over 2i}=C_{1}\sin(kx).$

-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:

$y_{H}=C_{0}\cos(kx)+C_{1}\sin(kx).$

Затухаючий гармонічний осцилятор

схематичне подання гармонічного осцилятора із затуханням

Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:

$\left(D^{2}+{b \over m}D+\omega _{0}^{2}\right)y=0,$

отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:

$\lambda ^{2}+{b \over m}\lambda +\omega _{0}^{2}=0.$

Розв'яжемо:

$\lambda ={-b/m\pm {\sqrt {b^{2}/m^{2}-4\omega _{0}^{2}}} \over 2}.$

Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:

$\left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)\left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0.$

Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає

$\left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0$

а інше

$\left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0$

Розв'язки, відповідно,

$y_{0}=A_{0}e^{-\omega x+{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{0}e^{-\omega x}e^{{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}$

та

$y_{1}=A_{1}e^{-\omega x-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{1}e^{-\omega x}e^{-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}$

де ω = B / 2 . З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:

$y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sinh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x+A_{1}\cosh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.$

Однак, якщо | ω | <| ω ₀ |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як

$y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sin {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x+A_{1}\cos {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.$

Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.

Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння , слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового інтеграла. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.

Припустимо, нам дано

${\frac {d^{n}y(x)}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y(x)}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y(x)=f(x).$

Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен

$P(v)=v^{n}+A_{1}v^{n-1}+\cdots +A_{n}.$

Ми знайдемо базис розв'язків $\{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x)\}$ як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у _р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:

$y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)y_{n}(x).$

Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис $D=d/dx$ і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду $P(D)y=f$ , тож

$f=P(D)y_{p}=P(D)(u_{1}y_{1})+P(D)(u_{2}y_{2})+\cdots +P(D)(u_{n}y_{n}).$

З обмеженнями

$0=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}$

$0=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}$

$\cdots$

$0=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)}$

параметри виносяться, після чого залишається дещо «зайве»:

$f=u_{1}P(D)y_{1}+u_{2}P(D)y_{2}+\cdots +u_{n}P(D)y_{n}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

Але $P(D)y_{j}=0$ , тому

$f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

Це, з обмеженнями, дає лінійну система за $u'_{j}$ . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,

$u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.$

Решта зводиться до інтегрування $u'_{j}.$

частковий розв'язок не є єдиним, $y_{p}+c_{1}y_{1}+\cdots +c_{n}y_{n}$ також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.

Приклад

Покладемо, $y''-4y'+5y=sin(kx)$ . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}$ .

$W\,$	$={\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x}\\(2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}$
	$=e^{4x}{\begin{vmatrix}1&1\\2+i&2-i\end{vmatrix}}$
	$=-2ie^{4x}\,$

$u'_{1}\,$	$={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\\sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}$
	$=-{\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2-i)x}$

$u'_{2}\,$	$={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\(2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix}}$
	$={\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.$

Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,

$u_{1}\,$	$=-{\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx$
	$={\frac {ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)$

$u_{2}\,$	$={\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx$
	$={\frac {ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).$

І тому

$y_{p}\,$	$={\frac {i}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)+{\frac {i}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)$
	$={\frac {(5-k^{2})\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^{2})^{2}+16}}.$

Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; у _р представляє стійкий стан, а $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ є перехідним станом.

Рівняння зі змінними коефіцієнтами

Лінійне диференціальне рівняння порядку n зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

$p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).$

Приклади

Простим прикладом є рівняння Коші-Ейлера, що часто використовуються в машинобудуванні

$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.$

Рівняння першого порядку

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

$Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).$

Тут D — диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегрувальний множник

$e^{\int f(x)\,dx}$,

що дає

$Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},$

спрощуючи за правилом добутку, дістанемо

$D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$

Звідси інтегруванням

$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,$

$y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.$

Отже, розв'язком лінійного диференціального рівняння першого порядку

$y'(x)+f(x)y(x)=g(x),$

з коефіцієнтами, які можуть залежати від х, є:

$y=e^{-a(x)}\left(\int g(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)$

Зазначимо, що $\kappa$ — стала інтегрування, і

$a(x)=\int {f(x)\,dx}.$

Компактна форма загального розв'язку

$y(x)=\int _{a}^{x}\!{[y(a)\delta (t-a)+g(t)]e^{-\int _{t}^{x}\!f(u)du}\,dt}\,.$

$\delta (x)$ — узагальнена дельта-функція Дірака.

Приклади

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:

${\frac {dy}{dx}}+by=1.$

Це рівняння має особливе значення для систем першого порядку на кшталт RC-схем (ємність-опір) і систем маса-демпфер.

В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1.

Тож розв'язком є

$y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.$

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Перетворення Лапласа

Посилання

• Лінійне диференціальне рівняння першого порядку // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 475. — 594 с.
• [1] напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
• [2] квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
• [3] повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm [Архівовано 30 червня 2007 у Wayback Machine.]

Література

• Jack K. Hale; Joseph P. LaSalle (1963). Differential Equations: Linearity vs. Nonlinearity (PDF). SIAM Review (англ. ) . 5 (3): 249—272. Архів оригіналу (PDF) за 4 жовтня 2015. Процитовано 4 грудня 2015.