Ліндельофів простір

У математиці ліндельофів простір (простір Ліндельофа) ^[1]^[2] — топологічний простір, в якому кожне відкрите покриття має злічене підпокриття. Властивість Ліндельофа є послабленням частіше використовуваного поняття компактності, яке вимагає існування скінченного підпокриття.

Успадкований простір Ліндельофа^[3] — топологічний простір, який є підпростором Ліндельофа. Такий простір іноді називають сильно ліндельофовим, але збиває з толку те, що такий термін іноді використовується в зовсім іншому значенні.^[4] Термін успадкований простір Ліндельофа є більш поширеним і однозначним.

Простори Ліндельофа названі на честь фінського математика Ернста Леонарда Ліндельофа.

Властивості просторів Ліндельофа ред.

Будь-який компактний простір, і взагалі кожен σ-компактний простір, є простором Ліндельофа. Зокрема, кожен зліченний простір також є простором Ліндельофа.

Простір Ліндельофа є компактним тоді й лише тоді, коли він є зліченно компактним.

Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, ^[5] є простором Ліндельофа, проте не навпаки. Наприклад, існує багато компактних просторів, які не задовольняють другу аксіому зліченності.

Метричний простір є ліндельофовим тоді й лише тоді, коли він сепарабельний, і тоді й лише тоді, коли він задовольняє другу аксіому зліченності.^[6]

Будь-який регулярний простір Ліндельофа є нормальним.^[7]

Будь-який регулярний простір Ліндельофа є паракомпактним.^[8]

Зліченне об'єднання підпросторів Ліндельофа топологічного простору є ліндельофовим простором.

Будь-який замкнений підпростір простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.^[9] Отже, будь-яка F_σ-множина у просторі Ліндельофа є ліндельофовим простором.

Довільні підпростори простору Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовими просторами.^[10]

Неперервний образ простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.^[9]

Добуток простору Ліндельофа і компактного простору є ліндельофовим простором.^[11]

Добуток простору Ліндельофа і σ-компактного простору є ліндельофовим простором.

Це є наслідком попередньої властивості.

Добуток двох просторів Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовим простором.

Наприклад, лінія Зоргенфрея $S$ є ліндельофовим простором, але площина Зоргенфрея^[en] $S\times S$ не є ліндельофовим простором.^[12]

У просторі Ліндельофа будь-яке локально скінченне^[en] сімейство непорожніх підмножин є зліченним.

Властивості успадкованого простору Ліндельофа ред.

Простір Ліндельофа є успадкованим тоді й лише тоді, коли будь-який відкритий підпростір простору є ліндельофовим простором.^[13]

Успадковані простори Ліндельофа є замкненими відносно зліченних об'єднань, підросторів і неперервних образів.

Регулярний простір Ліндельофа є успадкованим ліндельофовим простором тоді й лише тоді, коли він є досконало нормальним.^[14]^[15]

Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є успадкованим простором Ліндельофа.

Будь-який злічений простір є успадкованим простором Ліндельофа.

Будь-який польський простір є успадкованим простором Ліндельофа.

Будь-яка міра Радона на успадкованому просторі Ліндельйофа є модерованою.

Приклад: Площина Зоргенфрея не є простором Ліндельофа ред.

Добуток просторів Ліндельофа не обов'язково є простором Ліндельофа. Типовим прикладом цього є площина Зоргенфрея^[en] $\mathbb {S}$ , яка є добутком дійсної прямої $\mathbb {R}$ з топологією напіввідкритих інтервалів з самою собою. Відкритими множинами на площині Зоргенфрея є об'єднання напіввідкритих прямокутників, які включають нижній і лівий краї і опускають верхній і правий краї, включаючи верхній лівий, нижній лівий і нижній правий кути. Антидіагональ площини $\mathbb {S}$ — множина точок $(x,y)$ таких, що $x+y=0$ .

Розглянемо відкрите покриття площини $\mathbb {S}$ , яке складається з:

Множини всіх прямокутників $(-\infty ,x)\times (-\infty ,y)$ , де $(x,y)$ знаходяться на антидіагоналі.
Множинн всіх прямокутників $[x,+\infty )\times [y,+\infty )$ , де $(x,y)$ знаходяться на антидіагоналі.

Тут слід зауважити, що кожна точка на антидіагоналі міститься точно в одній множині покриття, тому всі ці множини потрібні.

Інший спосіб переконатися, що $S$ не є простором Ліндельофа, полягає в тому, що треба помітити, що антидіагональ визначає замкнутий і незлічений дискретний підпростір простору $S$ . Цей підпростір не є підпростором Ліндельофа, і тому весь простір не може бути ліндельофовим простором (оскільки замкнені підпростори просторів Ліндельофа також є просторами Ліндельофа).

Узагальнення ред.

Наступне означення узагальнює означення компактності та ліндельофності: Топологічний простір є $\kappa$ -компактним (або $\kappa$ -ліндельофовим), де $\kappa$ є будь-яким кардинальним числом, якщо кожне відкрите покриття множини має підпокриття кардинальності строго меншої ніж $\kappa$ . Компактний простір є тоді $\aleph _{0}$ -компактним і простір Ліндельофа є тоді $\aleph _{1}$ -компактним.

Степінь Ліндельофа, або число Ліндельофа $l(X)$ , є найменшим кардинальним числом $\kappa$ таким, що кожна відкрите покриття простору $X$ має підпокриття розмірності не більше $\kappa$ . У цьому позначенні, простір $X$ є простором Ліндельофа, якщо $l(X)=\aleph _{0}$ . Визначене вище число Ліндельофа не розрізняє компактні простору і некомпактні простору Ліндельофа. Деякі автори назвали числом Ліндельофа інше поняття: найменше кардинальне число $\kappa$ таке, що кожне відкрите покриття простору $X$ має підпокриття розмірності строго меншої ніж $\kappa$ .^[16] У цьому останньому (і менш уживаному) сенсі число Ліндельофа є найменшим кардинальним числом $\kappa$ таким, що топологічний простір $X$ є $\kappa$ -компактним. Це поняття іноді також називають степенем компактності простору $X$ .^[17]

Див. також ред.

Посилання ред.

↑ Steen & Seebach, p. 19
↑ Willard, Def. 16.5, p. 110
↑ Willard, 16E, p. 114
↑ A note on strongly Lindelöf spaces. 1989. S2CID 208002077.
↑ Willard, theorem 16.9, p. 111
↑ Willard, theorem 16.11, p. 112
↑ Willard, theorem 16.8, p. 111
↑ Michael, Ernest (1953). A note on paracompact spaces (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society (амер.). 4 (5): 831—838. doi:10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8. ISSN 0002-9939. Архів оригіналу (PDF) за 6 травня 2021. Процитовано 2 червня 2022.
↑ ^а ^б Willard, theorem 16.6, p. 110
↑ Examples of Lindelof Spaces that are not Hereditarily Lindelof. 15 квітня 2012. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
↑ The Tube Lemma. 2 травня 2011. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
↑ A Note on the Sorgenfrey Line. 27 вересня 2009. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
↑ Engelking, 3.8.A(b), p. 194
↑ Engelking, 3.8.A(c), p. 194
↑ General topology - Another question on hereditarily lindelöf space.
↑ Mary Ellen Rudin, Lectures on set theoretic topology, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, p. 4, retrievable on Google Books [1] [Архівовано 2 червня 2022 у Wayback Machine.]
↑ Hušek, Miroslav (1969), The class of k-compact spaces is simple, Mathematische Zeitschrift, 110 (2): 123—126, doi:10.1007/BF01124977, MR 0244947, S2CID 120212653.

Література ред.

Engelking, Ryszard, General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
I. Juhász (1980). Cardinal functions in topology - ten years later. Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
Munkres, James. Topology, 2nd ed.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.
Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

[1] Steen & Seebach, p. 19

[2] Willard, Def. 16.5, p. 110

[3] Willard, 16E, p. 114

[4] A note on strongly Lindelöf spaces. 1989. S2CID 208002077.

[5] Willard, theorem 16.9, p. 111

[6] Willard, theorem 16.11, p. 112

[7] Willard, theorem 16.8, p. 111

[8] Michael, Ernest (1953). A note on paracompact spaces (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society (амер.). 4 (5): 831—838. doi:10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8. ISSN 0002-9939. Архів оригіналу (PDF) за 6 травня 2021. Процитовано 2 червня 2022.

[:0-9] а ^б Willard, theorem 16.6, p. 110

[10] Examples of Lindelof Spaces that are not Hereditarily Lindelof. 15 квітня 2012. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.

[11] The Tube Lemma. 2 травня 2011. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.

[12] A Note on the Sorgenfrey Line. 27 вересня 2009. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.

[13] Engelking, 3.8.A(b), p. 194

[14] Engelking, 3.8.A(c), p. 194

[15] General topology - Another question on hereditarily lindelöf space.

[16] Mary Ellen Rudin, Lectures on set theoretic topology, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, p. 4, retrievable on Google Books [1] [Архівовано 2 червня 2022 у Wayback Machine.]

[17] Hušek, Miroslav (1969), The class of k-compact spaces is simple, Mathematische Zeitschrift, 110 (2): 123—126, doi:10.1007/BF01124977, MR 0244947, S2CID 120212653.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]