Локалізований стан

Локалізовиним станом квантовомеханічної системи називається такий стан, для якого ймовірність перебування за межами певної вибраної області дуже швидко спадає із збільшення віддалі до цієї області.

В іншому випадку стан називається делокалізованим.

Локалізовані стани можна описати дійсними хвильовими функціями. Зважаючи на це, ці стани неспроможні давати вклад в електричний струм.

Нормування хвильової функції

Для локалізованих станів інтеграл

$\int |\psi |^{2}d\tau$,

в якому інтегрування проводиться по координатному просторі всіх часток, має скінченне значення. Ця обставина дозволяє нормувати хвильову функцію таким чином, щоб сумарна ймовірність знайти частку в усьому координатному просторі дорівнювала б одиниці.

Приклади

Атоми

Наприклад, атом водню складається із протона й електрона. У атомі ці дві частки зв'язані між собою силами електростатичного притягання. Хвильова функція електрона в основному стані спадає як $\psi \propto e^{-r/2a_{0}}$, де r — віддаль від протона, $a_{0}$ — радіус Бора. Ймовірність того, що електрон перебуватиме на віддалі r від протона дорівнює $|\psi |^{2}\propto e^{-r/a_{0}}$ й дуже швидко зменшується із збільшенням віддалі.

Однак, можливі також випадки, коли електрон і протон перебувають далеко один від одного. При цьому сумарна енергія часток повинна бути більшою, ніж енергія зв'язку між ними. Для таких станів ймовірність знайти електрон на будь-якій віддалі від протона практично не залежить від цієї віддалі. Такі стани називаються делокалізованими.

Потенційна яма

Локалізовані й делокалізовані стани існують також у випадку модельної квантовомеханічної задачі про частку в потенціальній ямі, наприклад, у напівпровідниковій квантовій ямі. Частка може локалізуватися в ямі в тому випадку, якщо яма досить глибока й широка.

Умову локалізації можна оцінити в квазікласичному наближенні

$\int p(x)dx=2\pi n\hbar$,

де $p(x)={\sqrt {2(E-U(x))/m}}$, E — енергія частки, U(x) — потенціал, яким задається яма, m — маса частки, $\hbar$ — приведена стала Планка, n — квантове число, а інтегрування проводиться по класично дозволеній області, де U(x) < E.

Для прямокутної ями з глибиною $U_{0}$ й шириною W умовою існування хоча б одного локалізованого стану є нерівність

${\sqrt {\frac {2U_{0}}{m}}}W>2\pi \hbar$.

Локалізовані стани в напівпровідниках і діелектриках

В ідеальному кристалі згідно з теоремою Блоха усі стани описуюються періодичними хвильовими функціями, помноженими на комплексну експоненту. Таким чином, стани ідеального кристалу є делокалізованими.

Однак у реальних кристалах завжди присутні домішки. Електрони провідності чи дірки в напівпровідниках і діелектриках можуть зв'язуватися з домішками. В такому випадку вони перебуватимуть здебільшого поблизу домішки, а їхні хвильові функції швидко спадатимуть при віддаленні від неї. Таким чином у напівпровідниках і діелектриках з'являються локалізовані стани із енергіями, які лежать в забороненій зоні. Локалізовані стани відіграють важливу роль у визначенні характеристик напівпровідників, наприклад, їхньої провідності. При великій концентрації локалізованих станів у напівпровідниках виникає особливий вид провідності — стрибкова провідність, фізична природа якої полягає в перестрибуванні носіїв заряду від одного локалізованого стану до іншого.

Схожа картина виникає в аморфних тілах, у яких зберігається лише ближній порядок у розташуванні атомів. Носії заряду в них можуть локалізуватися на численних розупорядкованих областях.

Особливим видом локалізації є поверхнева локалізація. Поверхня — це найбільший із дефектів кристалічної структури. Напівпровідники й діелектрики, як відомо, можуть зберігати на своїй поверхні електричні заряди при електризації. Така здатність зумовлена існуванням локалізованих біля поверхні електронних станів. Див., наприклад, Таммівські стани.

Література

• Локалізовані стани електронів у напівпровідниках. І. Теоретичні аспекти розрахунку (огляд) / Д. М. Фреїк, О. М. Возняк, В. М. Чобанюк // Фізика і хімія твердого тіла, Т. 11, № 4. — 2010. — С. 797—803
• Невпорядковані напівпровідникові структури // Третяк О. В., Лозовський В. З. / Основи фізики напівпровідників: Підручник: У 2 т. — К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2007. — Т. 2. — С. 275—302
• Квантова механіка та її використання у прикладній фізиці [Архівовано 23 січня 2022 у Wayback Machine.] / В. І. Висоцький. — Κ.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський уні­верситет», 2008. — 367 с.