Конгруенц-дзета-функція — прототип для побудови важливої L-функції Гассе — Вейля , ряд вигляду
Z
(
V
,
T
)
=
exp
(
∑
k
=
1
∞
N
k
k
T
k
)
{\displaystyle Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)}
,
побудований на послідовності числа точок
N
k
{\displaystyle N_{k}}
афінного або проєктивного многовиду
V
{\displaystyle V}
у скінченних полях.
Локальна дзета-функція
ζ
(
X
,
s
)
=
Z
(
X
,
p
−
s
)
{\displaystyle \zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})}
. Для неї існує аналог гіпотези Рімана .
Визначення
ред.
Нехай
V
{\displaystyle V}
— афінний або проєктивний многовид над скінченним полем
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
. Конгруенц-дзета-функція многовиду
V
{\displaystyle V}
над
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
визначається як формальний степеневий ряд
Z
(
V
/
F
q
,
T
)
=
exp
(
∑
k
=
1
∞
N
k
k
T
k
)
{\displaystyle Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)}
,
де
exp
(
u
)
=
∑
k
=
0
∞
u
k
k
!
{\displaystyle \exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!}}}
, а
N
k
{\displaystyle N_{k}}
— число точок
V
{\displaystyle V}
, що лежать у
F
q
k
{\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}}
. Числа
N
k
{\displaystyle N_{k}}
скінченні в силу скінченності будь-якого афінного або проєктивного многовиду скінченної розмірності над скінченним полем.
Локальною дзета-функцією називають функцію
ζ
(
X
,
s
)
=
Z
(
X
,
p
−
s
)
{\displaystyle \zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})}
, тут
p
{\displaystyle p}
— характеристика поля
F
q
{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
,
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
— комплексна змінна.
Приклади
ред.
Властивості
ред.
Z
(
X
,
T
)
{\displaystyle Z(X,T)}
подається у вигляді нескінченного добутку
Z
(
X
,
T
)
=
∏
x
(
1
−
T
deg
(
x
)
)
−
1
,
{\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},}
де
x
{\displaystyle x}
пробігає всі замкнуті точки
X
{\displaystyle X}
, а
deg
x
{\displaystyle \deg x}
— степінь
x
{\displaystyle x}
. У разі, якщо
X
=
V
{\displaystyle X=V}
, яке обговорювалося вище, то замкнуті точки — це класи еквівалентності
x
=
[
P
]
{\displaystyle x=[P]}
точок
P
∈
V
¯
{\displaystyle P\in {\overline {V}}}
, де дві точки еквівалентні, якщо вони спряжені над полем
F
{\displaystyle F}
. Степінь
x
{\displaystyle x}
— це степінь розширення поля
F
{\displaystyle F}
, породженого координатами
P
{\displaystyle P}
. Тоді логарифмічна похідна нескінченного добутку
Z
(
X
,
T
)
{\displaystyle Z(X,T)}
дорівнюваиме твірній функції
N
1
+
N
2
t
1
+
N
3
t
2
+
⋯
{\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}
.
Якщо
E
{\displaystyle E}
— еліптична крива, то в цьому випадку дзета-функція дорівнює
Z
(
E
/
F
q
,
T
)
=
1
−
2
a
E
T
+
q
T
2
(
1
−
T
)
(
1
−
q
T
)
{\displaystyle Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}}
Якщо
(
∀
k
)
N
k
<
C
A
k
{\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k}}
, то
Z
(
T
)
{\displaystyle Z(T)}
збігається у відкритому крузі радіуса
R
=
A
−
1
{\displaystyle R=A^{-1}}
.
Якщо
N
k
=
N
k
(
1
)
+
N
k
(
2
)
{\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}}
, причому
Z
(
T
)
,
Z
(
1
)
(
T
)
,
Z
(
2
)
(
T
)
{\displaystyle Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)}
— відповідні дзета-функції, то
Z
(
T
)
=
Z
(
1
)
(
T
)
Z
(
2
)
(
T
)
{\displaystyle Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)}
.
Якщо
N
k
=
β
1
k
+
.
.
.
+
β
t
k
−
α
1
k
−
.
.
.
−
α
s
k
{\displaystyle N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\alpha _{s}^{k}}
, то
Z
(
T
)
=
(
1
−
α
1
T
)
.
.
.
(
1
−
α
s
T
)
(
1
−
β
1
T
)
.
.
.
(
1
−
β
t
T
)
{\displaystyle Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T)...(1-\beta _{t}T)}}}
.
Застосування
ред.
L-функція Гассе — Вейля визначається через конгруенц-дзета-функцію так:
L
(
V
,
s
)
=
ζ
(
s
)
ζ
(
s
−
1
)
∏
p
Z
(
V
/
F
p
,
p
−
s
)
{\displaystyle L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p},p^{-s})}}}
Гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями
ред.
Якщо
C
{\displaystyle C}
— проєктивна неособлива крива над
F
{\displaystyle F}
, то можна показати, що
Z
(
C
,
T
)
=
P
(
t
)
(
1
−
T
)
(
1
−
q
T
)
,
{\displaystyle Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}}\ ,}
де
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
— многочлен степеня
2
g
{\displaystyle 2g}
, де
g
{\displaystyle g}
— рід кривої
C
{\displaystyle C}
. Подамо
P
(
t
)
=
∏
i
=
1
2
g
(
1
−
ω
i
t
)
,
{\displaystyle P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}
тоді гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями стверджує, що
|
ω
i
|
=
q
1
/
2
{\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}}
Для локальної дзета-функції це твердження рівносильне тому, що дійсна частина коренів
ζ
(
X
,
s
)
{\displaystyle \zeta (X,s)}
дорівнює
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
.
Наприклад, для еліптичної кривої отримуємо випадок, коли існують рівно 2 корені, і тоді можна показати, що абсолютні значення коренів дорівнюють
q
{\displaystyle {\sqrt {q}}}
. Цей випадок еквівалентний теоремі Гассе про оцінку числа точок кривої в скінченному полі.
Загальні формули для дзета-функції
ред.
Див. також
ред.
Література
ред.
Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М . : Мир , 1987. — 428 с.
Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М . : Мир , 1988. — 319 с.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М . : Мир , 1981. — 597 с.