Лема Сінга

Лема Сінга - ключове твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах із додатною секційною кривиною.

Лема є прямим наслідком формули для другої варіації довжин однопараметричного сімейства кривих.

Її використовував Джоном Сінгом.

Формулювання

Нехай $\gamma \colon [0;1]\to M$ - геодезична в рімановому многовиді $M$ з додатною секційною кривиною і $V$ - паралельне поле дотичних векторів на $\gamma$. Тоді варіація $\gamma$ в напрямку $V$ скорочує її довжину.

Точніше, якщо

$\gamma _{\tau }(t)=\exp _{\gamma (t)}(\tau \cdot V(t))$

і $L(\tau )$ позначає довжину кривої $\gamma _{\tau }$ тоді $L'(0)=0$ і $L''(0)<0$.

Наслідки

• Якщо замкнута геодезична, яка допускає паралельне векторне поле, не є стабільною, тобто її довжину можна зменшити довільно малою деформацією.^{[уточнити]} Зокрема,
  • Парновимірні орієнтовані ріманові многовиди з додатною секційною кривиною однозв'язні.
  • Непарновимірні ріманові многовиди з додатною секційною кривиною орієнтовані.
• Лему Сінга використовував також Теодор Франкель для доведення того, що, якщо $V$ і $W$ є замкнутими геодезичними підмноговидами в рімановому мнгоговиді $M$ з додатною секційною кривиною і $\dim V+\dim W\geq \dim M$, то $V$ і $W$ перетинаються.