Лема Ріса

Лема Ріса — твердження в функціональному аналізі про властивості лінійних замкнутих просторів у нормованому просторі. Названа на честь угорського математика Фридєша Ріса, що опублікував доведення у випадку гільбертових просторів у 1918 році.

Твердження

Нехай Y — замкнутий лінійний підпростір нормованого простору X. Тоді для довільного дійсного числа, такого що 0 < α < 1 існує такий елемент x ∈ X, що

$\|x\|=1$

і також

$\|x-y\|>\alpha$

для всіх y ∈ Y. Іншими словами

$d(x,Y)>\alpha$,

де d(x, Y) позначає відстань елемента x від множини Y щодо норми нормованого простору X.

Доведення

• Нехай елемент v ∈ X \ Y і також позначимо

$a=d(v,Y)=\inf _{y\in Y}\|v-y\|.$

Оскільки підпростір Y є замкнутим, то a > 0. З визначення інфімуму випливає існування такого елемента y₀ ∈ Y, що

$a\leqslant \|v-y_{0}\|<{\frac {a}{\alpha }}.$

Нехай x = c(v — y₀), де

$c={\frac {1}{\|v-y_{0}\|}}.$

Норма елемента x рівна 1. Окрім того, для кожного y ∈ Y

$\|x-y\|=\|c(v-y_{0})-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|.$

Оскільки

$y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y\in Y,$

то також

$\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant a.$

Отже,

$\|x-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant ca={\frac {a}{\|v-y_{0}\|}}>{\frac {a}{a/\alpha }}=\alpha ,$

що завершує доведення.

Література

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 496 с.