Лема Гронуолла — Беллмана

Лема Гронуолла—Беллмана — лема про інтегральні (диференціальні) нерівності. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

Формулювання

В інтегральній формі.

Нехай

• $\quad u(t)\geqslant 0,\$
• $\quad f(t)\geqslant 0,\$
• $\quad u(t),f(t)\in C[t_{0},\infty ),\quad$

причому при $\quad t\geqslant t_{0}\quad$ виконується нерівність:

$u(t)\leqslant c+\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau ,\qquad (1)$

де $\quad c$ — деяка додатна константа. Тоді для довільного $\quad t\geqslant t_{0}\quad$ виконується оцінка

$u(t)\leqslant \,c\,\exp \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau .\qquad (2)$

В диференціальні формі.

Нехай

• $\quad u(t)\in C^{1}(t_{0},\infty ),f(t)\in C[t_{0},\infty ),\quad$

причому при $\quad t\geqslant t_{0}\quad$ виконується нерівність:

$u^{\prime }(t)\leqslant f(t)u(t),\qquad (1')$

Тоді для довільного $\quad t\geqslant t_{0}\quad$ виконується оцінка

$u(t)\leqslant \,u(t_{0})\,\exp \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau .\qquad (2')$

Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій $u(t),\,f(t)$, але вимагається диференційовність функції $u(t)$.

Доведення

Із нерівності (1) отримуємо

${\frac {u(t)}{c\ +\ \int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau }}\,\leqslant 1,$

та

${\frac {f(t)u(t)}{c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau }}\,\leqslant \,f(t),\qquad (3)$

Оскільки

${\frac {d}{dt}}{\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau {\bigg ]}=f(t)u(t),$

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від $\quad t_{0}$ до $\quad t$, матимемо

$\ln {\bigg [}c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau {\bigg ]}\,-\,\ln c\,\leqslant \,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau .$

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

$u(t)\,\leqslant \,c\,+\,\int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,u(\tau )\,d\tau \,\leqslant \,c\,\exp \int _{t_{0}}^{t}\,f(\tau )\,d\tau ,$

що й треба було довести.

Джерела

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)