Лема Артіна — Ріса

В математиці, лемою Артіна — Ріса називається важливе твердження про властивості модулів над кільцями Нетер. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в алгебричній геометрії. Названа на честь Еміля Артіна і Девіда Ріса.

Твердження ред.

Нехай I — ідеал в нетеровому кільці R; нехай M — скінченнопороджений модуль над R і N — його підмодуль. Тоді існує ціле число k ≥ 1, що для всіх цілих чисел n ≥ k,

I^{n}M\cap N=I^{n-k}((I^{k}M)\cap N).

Доведення ред.

Для довільного кільця R і його ідеалу I, позначимо $B_{I}R=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}X^{n}$ . Оскільки $I^{m}I^{n}\subseteq I^{m+n}$ можна розглядати $B_{I}R$ як градуйоване кільце. Якщо позначити $\{a_{1},\ldots ,a_{r}\}$ — множину твірних елементів ідеалу I (дана множина є скінченною оскільки R є нетеровим кільцем), то елементи $\{a_{1}X,\ldots ,a_{r}X\}$ є породжуючими для $B_{I}R$ як алгебри над R і тому $B_{I}R$ є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів $R[x_{1},\ldots ,x]$ і згідно теореми Гільберта про базис $B_{I}R$ є кільцем Нетер.

Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів $M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots$ називається I-фільтрацією якщо $IM_{n}\subset M_{n+1}$ ; I-фільтрація називається стабільною якщо $IM_{n}=M_{n+1}$ для достатньо великого n. Для модуля M з I-фільтрацією, позначимо $B_{I}M=\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}X^{n}$ ; це є градуйованим модулем над градуйованим кільцем $B_{I}R$ .

B_{I}M

є скінченнопородженим модулем над

B_{I}R

якщо і тільки якщо

B_{I}M

є I-стабільним.

Справді, якщо фільтрація є I-стабільною, то $B_{I}M$ є породженою $k+1$ членами $M_{0},\dots ,M_{k}$ кожен з яких теж є скінченно породжений; тому, $B_{I}M$ є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з $\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}X^{j}$ , тоді для $n\geq k$ , кожен елемент f з $M_{n}$ може бути записаним як

f=\sum a_{ij}X^{n-j}g_{ij}X^{j},\quad a_{ij}\in I^{n-j}

для породжуючих елементів $g_{ij}$ з $M_{j},j\leq k$ (для кожного елемента $g_{ij}$ індекс $j$ береться максимальним з тих, що $g_{ij}\in M_{j}$ ). Тобто, $f\in I^{n-k}M_{k}$ .

Позначимо тепер $M_{n}=I^{n}M$ . Тоді $M_{n}$ є I-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що $B_{I}M$ є скінченно породженим над $B_{I}R$ і тому $B_{I}M$ є нетеровим модулем і кожен його підмодуль є скінченно породженим над $B_{I}R$ ; зокрема, $B_{I}N$ є скінченно породженим коли на N визначити індуковану фільтрацію; тобто $N_{n}=M_{n}\cap N=I^{n}M\cap N$ . Індукована фільтрація тоді теж буде I-стабільною, що й доводить твердження леми

Теорема Круля про перетини ред.

Нехай R комутативне нетерове кільце, I — власний ідеал у R і M — скінченнопороджений модуль над R. Тоді перетину

N:=\cap _{n>0}I^{n}M

належать всі елементи $x\in M$ для яких $(1-\alpha )x=0\,$ для деякого елемента $\alpha \in I$ , який може бути обраний єдиним для всіх $x\in N$ .

Доведення ред.

Очевидно, що якщо $\alpha x=x\,\,x\in M$ для деякого елемента $\alpha \in I$ то $x\in I^{n}M,\;\;\forall n\geqslant 0$ і відповідно $x\in N$ .

Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для M і N визначених у цьому розділі, отримуємо деяке k, таке що для всіх $n\geq k$ , $\ \ I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N).$ Зокрема для $n=k+1$ :

I^{k+1}M\cap N=I(I^{k}M\cap N).

Але оскільки $I^{k+1}M\cap N=I^{k}M\cap N=N$ то звідси $IN=N$ і згідно леми Накаями існує $\alpha \in I$ такий, що $(1-\alpha )x=0\,$ для всіх $x\in N$ .

Наслідок для локальних нетерових кілець ред.

Для власного ідеалу I в комутативному локальному нетеровому кільці $\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0$ .

Оскільки $I^{n}\subset {\mathfrak {m}}$ то достатньо довести твердження для єдиного максимального ідеалу локального кільця. Взявши в теоремі Круля $I=M={\mathfrak {m}}$ і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи $1-\alpha ,\,\alpha \in {\mathfrak {m}}$ є оборотними отже не є дільниками 0 отримуємо необхідний результат.

Література ред.

Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії [Архівовано 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

Посилання ред.

Artin-Rees Theorem на PlanetMath