Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma ) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара .
Нехай
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
— функція класу
C
r
{\displaystyle \,C^{r}}
, де
r
≥
1
{\displaystyle r\geq 1}
, визначена у випуклому околі
U
{\displaystyle U}
точки
0
{\displaystyle 0}
. Тоді існують такі функції
g
1
,
…
,
g
n
:
R
n
→
R
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
класу
C
r
−
1
{\displaystyle \,C^{r-1}}
, визначені в
U
{\displaystyle U}
, що для всіх
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
U
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U}
має місце рівність
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
(
0
)
+
∑
i
=
1
n
x
i
g
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
g
i
(
0
)
=
∂
f
∂
x
i
(
0
)
.
{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ \quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).}
Якщо функція
f
{\displaystyle f}
— аналітична, то й функції
g
1
,
…
,
g
n
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}
у наведеній вище формулі аналітичні.
Узагальнене формулювання
ред.
Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.
Нехай
f
(
x
,
y
)
:
R
n
×
R
m
→
R
{\displaystyle f(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }
— функція класу
C
r
{\displaystyle \,C^{r}}
, де
r
≥
1
{\displaystyle r\geq 1}
, визначена на випуклому околі
U
{\displaystyle U}
точки
0
{\displaystyle 0}
, при цьому
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
і
y
=
(
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{m})}
.
Тоді існують такі функції
g
1
(
x
,
y
)
,
…
,
g
n
(
x
,
y
)
:
R
n
×
R
m
→
R
{\displaystyle g_{1}(x,y),\ldots ,g_{n}(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }
класу
C
r
−
1
{\displaystyle \,C^{r-1}}
, визначені в
U
{\displaystyle U}
, що для всіх
(
x
,
y
)
∈
U
{\displaystyle (x,y)\in U}
має місце рівність
f
(
x
,
y
)
=
f
(
0
,
y
)
+
∑
i
=
1
n
x
i
g
i
(
x
,
y
)
,
g
i
(
0
,
y
)
=
∂
f
∂
x
i
(
0
,
y
)
.
{\displaystyle f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x,y),\ \quad g_{i}(0,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,y).}
Доведення .
Розглянемо допоміжну функцію
f
(
t
x
,
y
)
=
f
(
t
x
1
,
…
,
t
x
n
,
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle f(tx,y)=f(tx_{1},\ldots ,tx_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})}
,
де
t
{\displaystyle t}
— додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай
t
{\displaystyle t}
пробігає значення з відрізку
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
, тоді функція
f
(
t
x
,
y
)
{\displaystyle \,f(tx,y)}
, що розглядається як функція
R
n
+
m
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} }
при кожному фіксованому значенні параметра
t
{\displaystyle t}
, пробігає в просторі функцій від
n
+
m
{\displaystyle n+m}
змінних деяку криву з кінцями
f
(
0
,
y
)
{\displaystyle \,f(0,y)}
и
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle \,f(x,y)}
.
Розглядаючи
f
(
t
x
,
y
)
{\displaystyle \,f(tx,y)}
як функцію змінної
t
{\displaystyle t}
, залежну від параметрів
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in R^{n}}
і
y
∈
R
m
{\displaystyle y\in R^{m}}
, і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца , можна записати:
f
(
x
,
y
)
−
f
(
0
,
y
)
=
∫
0
1
d
f
(
t
x
,
y
)
d
t
d
t
=
∫
0
1
∑
i
=
1
n
x
i
∂
f
∂
x
i
(
t
x
,
y
)
d
t
=
∑
i
=
1
n
x
i
g
i
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle f(x,y)-f(0,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,y),}
де
g
i
(
x
,
y
)
:=
∫
0
1
∂
f
∂
x
i
(
t
x
,
y
)
d
t
.
{\displaystyle g_{i}(x,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt.}
Необхідна гладкість функцій
g
i
(
x
,
y
)
{\displaystyle g_{i}(x,y)\,}
випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра .
Застосування
ред.
Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей .
За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса .
Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції
f
(
x
,
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})}
обертається в нуль на гіперплощині
x
=
0
{\displaystyle \,x=0}
, то його можна подати у вигляді
f
=
x
g
(
x
,
y
1
,
…
,
y
m
)
,
{\displaystyle f=x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),}
де
g
{\displaystyle \,g}
— деяка гладка функція.
Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції
f
(
x
,
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})}
має місце подання
f
=
f
0
(
y
1
,
…
,
y
m
)
+
x
g
(
x
,
y
1
,
…
,
y
m
)
,
{\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),}
де
f
0
=
f
(
0
,
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle f_{0}=f(0,y_{1},\ldots ,y_{m})}
і
g
{\displaystyle \,g}
— гладкі функції.
Застосовуючи індукцію , звідси неважко отримати також загальніше представлення:
f
=
f
0
(
y
1
,
…
,
y
m
)
+
x
f
1
(
y
1
,
…
,
y
m
)
+
⋯
+
x
n
f
n
(
y
1
,
…
,
y
m
)
+
x
n
+
1
g
(
x
,
y
1
,
…
,
y
m
)
,
{\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\ldots ,y_{m})+\cdots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),}
де
f
i
(
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{m})}
и
g
{\displaystyle \,g}
— гладкі функції та
n
{\displaystyle \,n}
— довільне натуральне число.
Див. також
ред.