Лагранжіан Дарвіна (названий на честь Чарлза Ґалтона Дарвіна , онука відомого біолога ) описує взаємодію до порядку
v
2
c
2
{\displaystyle {v^{2} \over c^{2}}}
між двома зарядженими частинками у вакуумі та дається виразом:
L
=
L
f
+
L
i
n
t
{\displaystyle L^{}=L_{f}+L_{int}^{}}
де вільночастинковий лагранжіан має вигляд:
L
f
=
1
2
m
1
v
1
2
+
1
8
c
2
m
1
v
1
4
+
1
2
m
2
v
2
2
+
1
8
c
2
m
2
v
2
4
,
{\displaystyle L_{f}={1 \over 2}m_{1}v_{1}^{2}+{1 \over 8c^{2}}m_{1}v_{1}^{4}+{1 \over 2}m_{2}v_{2}^{2}+{1 \over 8c^{2}}m_{2}v_{2}^{4},}
а лагранжіан взаємодії:
L
i
n
t
=
L
C
+
L
D
{\displaystyle L_{int}=L_{C}+L_{D}^{}}
де перший доданок є кулонівською взаємодією :
L
C
=
−
q
1
q
2
r
{\displaystyle L_{C}=-{q_{1}q_{2} \over r}}
а другий - дарвінівською:
L
D
=
q
1
q
2
r
1
2
c
2
v
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
.
{\displaystyle L_{D}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}
Тут q 1 та q 2 є зарядами частинок 1 та 2 відповідно, m 1 та m 2 - їхніми масами, v 1 та v 2 - швидкостями; c - швидкість світла , r - вектор між двома частинками, а
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
- одиничний вектор в напрямку r .
Вільний Лагранжіан є розкладом в ряд Тейлора вільного лагранжіану двох релятивістських частинок з точністю до величин другого порядку по v. Доданок з дарвінівською взаємодією відповідає реакції однієї частинки на магнітне поле, що створює друга частинка. Якщо члени вищих порядків по v/c збережені, тоді слід враховувати польові ступені вільності і взаємодія між частинками більше не може розглядатись як миттєва. В такому випадку повинні братись до уваги запізнювальні ефекти.
Дарвінівська взаємодія у вакуумі
ред.
Лагранжіан для релятивістської взаємодії частинки з зарядом q, що взаємодіє з електромагнітним полем, має вигляд:
L
i
n
t
=
−
q
Φ
+
q
c
u
⋅
A
{\displaystyle L_{int}=-q\Phi +{q \over c}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} }
де u - релятивістська швидкість частинки. Перший доданок справа виражає кулонівську взаємодію, другий - дарвінівську. Векторний потенціал в кулонівській калібровці задається рівнянням (в одиницях Ґауса ):
∇
2
A
−
1
c
2
∂
2
A
∂
t
2
=
−
4
π
c
J
t
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-{4\pi \over c}\mathbf {J} _{t}}
Де поперечний потік J t є вихровим потоком (див.теорему розкладу Гельмгольца ), створеним другою частинкою. Дивергенція поперечного потоку нульова.
Потік, що створює друга частинка:
J
=
q
2
v
2
δ
(
r
−
r
2
)
,
{\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right),}
що відповідає перетворенню Фур'є :
J
(
k
)
≡
∫
d
3
r
exp
(
−
i
k
⋅
r
)
J
(
r
)
=
q
2
v
2
exp
(
−
i
k
⋅
r
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}
Поперечна компонента потоку:
J
t
(
k
)
=
q
2
[
1
−
k
^
k
^
]
⋅
v
2
exp
(
−
i
k
⋅
r
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}
Легко переконатися, що:
k
⋅
J
t
(
k
)
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=0,}
що має виконуватись, якщо дивергенція поперечного потоку рівна нулю. Бачимо, що
J
t
(
k
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)}
є компонентою перетворення Фур'є, перпендикулярною до k .
З рівняння для векторного потенціалу, Фур'є-перетворення цього потенціалу:
A
(
k
)
=
4
π
c
q
2
k
2
[
1
−
k
^
k
^
]
⋅
v
2
exp
(
−
i
k
⋅
r
2
)
{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)}
де зберігся член лише найнижчого порядку по v/c.
Зворотне перетворення Фур'є векторного потенціалу:
A
(
r
)
=
∫
d
3
k
(
2
π
)
3
A
(
k
)
exp
(
i
k
⋅
r
1
)
=
q
2
2
c
1
r
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {\mathbf {k} } \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}
де
r
=
r
1
−
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}
(див. Інтеграли, поширені в квантовій теорії поля )
Тоді доданок з дарвінівською взаємодією в лагранжіані буде:
L
D
=
q
1
q
2
r
1
2
c
2
v
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
{\displaystyle L_{D}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}
де ми знову отримуємо член лише найнижчого порядку по v/c.
Рівняння руху Лагранжа
ред.
Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі
ред.
Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі пов'язаний з лагранжіаном Дарвіна через перетворення Лежандра :
H
=
p
1
⋅
v
1
+
p
2
⋅
v
2
−
L
.
{\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}
В такому випадку маємо гамільтоніан:
H
(
r
1
,
p
1
,
r
2
,
p
2
)
=
(
1
−
1
4
p
1
2
m
1
2
c
2
)
p
1
2
2
m
1
+
(
1
−
1
4
p
2
2
m
2
2
c
2
)
p
2
2
2
m
2
+
q
1
q
2
r
−
q
1
q
2
r
1
2
m
1
m
2
c
2
p
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
p
2
.
{\displaystyle H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{1 \over 4}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){p_{1}^{2} \over 2m_{1}}\;+\;\left(1-{1 \over 4}{p_{2}^{2} \over m_{2}^{2}c^{2}}\right){p_{2}^{2} \over 2m_{2}}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r}\;-\;{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.}
Рівняння руху Гамільтона
ред.
Рівняння руху Гамільтона мають вигляд:
v
1
=
∂
H
∂
p
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\partial H \over \partial \mathbf {p} _{1}}}
та
d
p
1
d
t
=
−
∇
1
H
{\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=-\nabla _{1}H}
Це дає:
v
1
=
(
1
−
1
2
p
1
2
m
1
2
c
2
)
p
1
m
1
−
q
1
q
2
2
m
1
m
2
c
2
1
r
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
p
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}}
та
d
p
1
d
t
=
q
1
q
2
r
2
r
^
+
q
1
q
2
r
2
1
2
m
1
m
2
c
2
{
p
1
(
r
^
⋅
p
2
)
+
p
2
(
r
^
⋅
p
1
)
−
r
^
[
p
1
⋅
(
1
+
3
r
^
r
^
)
⋅
p
2
]
}
{\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}}
Слід зазначити, що для рівняння Брейта першопочатково використовувались дарвінівський лагранжіан та гамільтоніан. Проте найкраще воно підтверджується в теорії поглинання Вілера-Фейнмана і тепер в квантовій електродинаміці .
Див. також
ред.
Jackson, John D., Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley, 1998, pp. 596-598